Различные ошибки, которые математики во все времена допускали в том, что касается доказательства и определенности, вполне естествен­ны. Настоящее обсуждение имеет своей целью привести нас к ожида­нию того, что современная точка зрения тоже не будет вечной. Но уве­ренность, с которой математики натыкались на эти ошибки, а также их неспособность признать даже возможность ошибки во всем этом, на Мой взгляд, связана с древней и широко распространенной путаницей между методами математики и ее предметом. Сейчас я поясню это. В отличие от отношений между физическими категориями, отноше­ния между абстрактными категориями независимы от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Они абсолютно и объ­ективно определяются автономными свойствами самих абстрактных категорий. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким Образом, изучает абсолютно необходимые истины. Другими словами, Истины, изучаемые математикой, абсолютно определенны. Но это не говорит ни об определенности самого нашего знания этих необходимых истин, ни о том, что методы математики дают своим выводам необхо­димую им истинность. Как-никак, математика изучает еще и ложные утверждения и парадоксы. И это не означает, что выводы подобного изучения непременно являются ложными или парадоксальными.    Необходимая истина — это всего лишь предмет математики, а не награда за то, что мы занимаемся математикой. Математическая опре­деленность не является и не может являться целью математики. Ее целью является даже не математическая истина, определенная или какая-нибудь еще. Ее целью является и должно являться математическое объяснение.

Почему же тогда математика работает так, как она работает? Почему она ведет к выводам, которые, несмотря на их неопределенность. Можно принимать и без проблем применять, по крайней мере, в течение тысячи лет? В конечном счете, причина в том, что некоторая часть нашего знания физического мира столь же надежна и непротиворечива. А когда мы понимаем физический мир достаточно хорошо, мы так­же понимаем, какие физические объекты имеют общие свойства с аб­страктными. Но, в принципе, надежность нашего знания математики остается второстепенной по отношению к нашему знанию физической реальности. Обоснованность каждого математического доказательства полностью зависит от того, правы ли мы относительно правил, управ­ляющих поведением каких-либо физических объектов, будь то генера­торы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственный мозг.