Интуиция Геделя относительно этапов и конечности, насколько нам известно, действительно накладывает некоторые физические огра­ничения на процесс доказательства. Квантовая теория требует дискрет­ных этапов, и ни один из известных способов взаимодействия физичес­ких объектов не позволил бы бесконечному количеству этапов превзой­ти измеримый вывод. (Однако, могло бы оказаться возможным, что за всю историю вселенной было бы выполнено бесконечное количество этапов — я объясню это в главе 14). Классическая физика, даже будь она истинной (что исключено), не согласилась бы с такого рода инту­ицией. Например, непрерывное движение классических систем преду­смотрело бы «аналогичное» вычисление, в котором было бы не слишком много этапов и которое обладало бы репертуаром, существенно отли­чающимся от машины Тьюринга. Известны некоторые примеры хит­росплетенных классических законов, в соответствии с которыми бес­конечный объем вычислений (бесконечный в соответствии с нормами машины Тьюринга или квантового компьютера) можно было бы выпол­нить с помощью физически конечных методов. Безусловно, классичес­кая физика несовместима с результатами бесчисленных эксперимен­тов, поэтому размышление о том, какими «были бы» «действительные» классические законы физики, носит весьма искусственный характер: однако эти примеры показывают, что никто не может доказать, не­зависимо от знания физики, что доказательство должно состоять из конечного числа этапов. Эти же соображения применимы к интуиции о том, что должно быть конечное количество правил вывода и что они должны быть «применимы напрямую». Ни одно из этих требований не имеет смысла для абстрактного: это физические требования. Гильберт в своем влиятельном эссе «On the Infinite»^[16] со знанием дела высмеял идею реальности требования «конечного количества ступеней». Однако вышеуказанный аргумент показывает, что он ошибался: это требование реально, и оно следует только из физической интуиции самого Гильбер­та и других математиков.

По крайней мере, одно из направлений интуиции Геделя относи­тельно доказательства, оказывается, было ошибочным; к счастью, это никак не влияет на доказательства его теорем. Он унаследовал это на­правление из предыстории греческой математики, и оно не вызывало сомнений ни у одного поколения математиков до тех пор, пока в 1908 году открытия в области квантовой теории вычислений не доказали его ложность. Это направление интуиции заключается в том, что до­казательство — это конкретная разновидность объекта, а именно, по­следовательность утверждений, которая подчиняется правилам выво­да. Я уже говорил о том, что доказательство лучше рассматривать не как объект, а как процесс, разновидность вычислений. Однако в клас­сической теории доказательства или вычисления это не делает фунда­ментальной разницы по следующей причине. Если мы можем пройти через процесс доказательства, мы можем только с небольшим дополни­тельным усилием вести запись всего важного, что происходит во время этого процесса. Эта запись, физический объект, составит доказатель­ство в смысле последовательности утверждений. II наоборот, если бы у нас была такая запись, мы могли бы прочитать ее, проверить, удовле­творяет ли она правилам вывода, и в процессе этого мы докажем вывод. Другими словами, в классическом случае преобразование процессов до­казательства и объектов доказательства — это всегда легковычисляе­мая задача.