Теоремы Геделя называли «первыми новыми теоремами чистой ло­гики за две тысячи лет». Но это не так: теоремы Геделя говорят о том, что можно, а что нельзя доказать, а доказательство — это физический Процесс. В теории доказательства нет ничего, что касалось бы только чистой логики. Новый способ доказательства Геделем общих утверж­дений о доказательствах зависит от определенных допущений о том, какие физические процессы могут или не могут представить абстракт­ный факт так. что наблюдатель сможет обнаружить его и убедиться, благодаря ему. Гедель перевел такие допущения в явное и выраженное невербально доказательство своих результатов. Его результаты были самоочевидно доказанными не потому, что были «чисто логическими», а потому, что математики нашли эти допущения самоочевидными.

Одно из сделанных Геделем допущений было традиционным: дока­зательство может иметь только конечное число этапов. Интуитивное доказательство этого допущения состоит в том, что мы конечные су­щества и никогда не смогли бы постичь буквально бесконечное число утверждений. Кстати, именно эта интуиция стала причиной беспокой­ства многих математиков, когда в 1976 году Кеннет Эппел и Вольф­ганг Хакен использовали компьютер для доказательства знаменитой «гипотезы четырех цветов» (о том, что, используя всего четыре разных цвета, любую карту, нарисованную на плоскости, можно раскрасить так, что никакие два примыкающих района не будут иметь одинако­вый цвет). Программа требовала сотни часов машинного времени, что означало, что этапы доказательства, если оно было бы записано, не смог бы прочитать ни один человек за много жизней, не говоря уже о том, чтобы признать его самоочевидным. «Следует ли воспринимать слово компьютера как то, что гипотеза четырех цветов доказана?» — задава­лись вопросом скептики — хотя им и в голову никогда не приходило составить каталог всех импульсов всех нейронов своего собственного мозга при принятии относительно «простого» доказательства.

Такое же беспокойство может показаться более оправданным, бу­дучи примененным к предполагаемому решению с бесконечным числом этапов. Но что такое «этап» и что такое «бесконечный»? В пятом веке до н.э. Зенон из Элеи на основе похожей интуиции пришел к выводу, Что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у черепахи будет пре­имущество на старте. Как-никак, к тому времени, когда Ахиллес поравняется с черепахой, она еще немножко продвинется вперед. К тому времени, когда он достигнет этой точки, она продвинется еще чуть-чуть и так до бесконечности. Таким образом, эта процедура «обгона» потребует от Ахиллеса выполнения бесконечного количества этапов об­гона, которое он, будучи конечным существом, предположительно вы­полнить не сможет. Но то, что Ахиллес сможет сделать, невозможно обнаружить с помощью чистой логики. Это полностью зависит от то­го, что он сможет сделать в соответствии с управляющими законами физики. И если эти законы скажут, что он обгонит черепаху, то он ее обгонит. В соответствии с классической физикой обгон требует беско­нечного количества этапов вида «переход на настоящее место нахожде­ния черепахи». В этом смысле данное действие является вычислительно бесконечным. Точно так же, если рассматривать как доказательство то, что одна абстрактная величина становится больше другой при приме­нении данного набора действий, то это доказательство с бесконечным количеством этапов. Однако соответствующие законы обозначают это доказательство как физически конечный процесс — и только это имеет значение.