Но какими правилами вывода нам следует пользоваться? Это все равно, что спросить, как следует запрограммировать генератор вирту­альной реальности для передачи мира геометрии Евклида. Ответ в том, что нужно использовать те правила вывода, которые, для нашего луч­шего понимания, заставят наши символы вести себя в уместной степе­ни как абстрактные категории, которые они обозначают. Как мы мо­жем быть уверены, что они будут вести себя именно так? А мы и не можем быть уверены в этом. Предположим, что некоторые крити­ки возражают против наших правил вывода, потому что они считают, что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных катего­рий. Мы не можем ни взывать к авторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила вывода безошибочны (за исключением теоремы Геделя, это привело бы к бесконечному регрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого метода доказательст­ва, используемого нами). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-то не в порядке с интуицией, потому что наша инту­иция говорит, что символы будут копировать абстрактные категории в совершенстве. Все, что мы можем сделать, — это объяснить. Мы должны объяснить, почему мы думаем, что при определенных обстоя­тельствах символы будут вести себя желаемым образом в соответствии с высказанными нами правилами. А критики могут объяснить, поче­му они предпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Расхождение во мнениях относительно двух таких теорий — это частично расхож­дение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физических объектов. Такого рода расхождения могут быть адресованы нормаль­ными методами науки. Иногда они легко разрешимы, а иногда — нет. Другой причиной подобного расхождения может стать концептуаль­ный конфликт, связанный с природой самих абстрактных категорий. И вновь дело за конкурирующими объяснениями, на этот раз объяс­нениями не физических объектов, а абстрактных категорий. Либо мы придем к общему пониманию со своими критиками, либо согласим­ся, что говорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придем к согласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в про­тивоположность традиционному убеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью исключительно методологических средств.