Таким образом, объяснение все-таки играет ту же самую первосте­пенную роль в чистой математике, как оно играет ее в науке. Объясне­ние и понимание мира — физического мира и мира математических аб­стракций — в обоих случаях является целью изучения. Доказательство и наблюдения — это всего лишь средства проверки наших объяснений.

Роджер Пенроуз извлек из результатов Геделя еще более глубо­кий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные определенности математики. В отличие от Платона Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг — часть естественного мира и имеет доступ только к этому ми­ру. Таким образом, задача для него встает даже более остро, чем для Платона: как может беспорядочный, ненадежный мир давать математи­ческие определенности такой беспорядочной и ненадежной части себя, какой является математик? В частности, Пенроуза удивляет, как мы можем понять безошибочность новых обоснованных форм доказатель­ства, которых, как уверяет Гедель, бесконечно много.

Пенроуз все еще работает над подробным ответом, но он заявля­ет, что само существование свободной математической интуиции та­кого рода фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, с принципом Тьюринга. Вкратце его доказа­тельство выглядит примерно так. Если принцип Тьюринга истинный, то мы можем рассматривать мозг (подобно любому другому объекту) как компьютер, обрабатывающий определенную программу. Взаимо­действия мозга с окружающей средой составляют вводимые и выво­димые данные. Теперь рассмотрим математика в процессе решения, обоснован или нет недавно предложенный вид доказательства. Приня­тие такого решения эквивалентно обработке компьютерной программы обоснования доказательства в мозге математика. Такая программа ре­ализует набор правил вывода Гильберта, которые, в соответствии с те­оремой Геделя, не могут быть законченными. Более того, как я уже сказал, Гедель предоставляет способ создания и доказательства истин­ного высказывания, которое эти правила не способны признать дока­занным. Следовательно, математик, разум которого является эффек­тивным компьютером, применяющим эти правила, также никогда не сможет признать это высказывание доказанным. Затем Пенроуз пред­лагает показать этому самому математику это высказывание и метод доказательства его истинности Геделем. Математик понимает доказа­тельство. Оно все-таки самоочевидно обоснованно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть, что оно обоснованно. Но это бы противоре­чило теореме Геделя. Следовательно, где-то в доказательстве должно быть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допуще­нием является принцип Тьюринга.