Может показаться, что достижение единых норм доказательства в математике могло бы, по крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении к объединению — то есть «углублению» нашего знания, на которое я ссылался в главе 1. Однако происходит обратное. Подобно предсказательной «теории всего» в физике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуре реальности. Они реализовали бы, в пределах математики, предельное видение редукционистов, пред­сказывающее все (в принципе), но ничего не объясняющее. Более того, если бы математика была редукционистской наукой, то все нежелае­мые черты, которые, как я доказал в главе 1, отсутствуют в структуре человеческого знания, присутствовали бы в математике: математичес­кие идеи создали бы иерархию, в основе которой лежали бы правила Гилберта. Математические истины, проверка которых, исходя из этих правил, оказалась бы очень сложна, стали бы объективно менее фунда­ментальными, чем те, которые можно было бы немедленно проверить с помощью этих правил. Поскольку мог существовать только конечный набор таких фундаментальных истин, со временем математике при­шлось бы заниматься даже менее фундаментальными задачами. Мате­матика вполне могла исчерпать себя при этой зловещей гипотезе. Если бы этого не произошло, она неизбежно распалась бы на даже более за­гадочные специализации, по мере увеличения сложности «исходящих» вопросов, которые математики были бы вынуждены решать, и по мере еще большего отдаления этих вопросов от основ самого предмета.

Благодаря Геделю мы знаем, что никогда не будет непреложного метода определения истинности математического высказывания, как не существует и непреложного метода определения истинности науч­ной теории. Как никогда не будет и непреложного метода создания ново­го математического знания. Следовательно, математический прогресс всегда будет зависеть от использования творчества. Изобретение новых видов доказательства всегда будет возможно и необходимо для мате­матиков. Они будут обосновывать их с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от их непрерывно увеличиваю­щегося понимания абстрактных категорий, связанных с этим доказа­тельством. Примером служат теоремы самого Геделя: чтобы доказать их, ему пришлось изобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на «диагональном доказательстве», одна­ко Гедель по-новому расширил это доказательство. До него так ничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, кто никогда не видел метода Геделя, не могли бы определить его как об­основанный. Однако он является самоочевидно обоснованным. Откуда исходит эта самоочевидность? Она исходит из понимания Геделем при­роды доказательства. Доказательства Геделя так же неоспоримы, как и любые другие математические доказательства, но только для того, кто прежде поймет сопровождающее их объяснение.