Тем временем математики продолжали строить свои абстрактные небесные замки. Для практических целей многие такие строения каза­лись достаточно надежными. Некоторые из них стали необходимы для науки и техники, а большинство образовало красивую и плодотворную структуру. Тем не менее, никто не мог гарантировать, что вся эта структура, или какая-то существенная ее часть, не имела в своей осно­ве логического противоречия, которое буквально лишило бы ее всякого смысла. В 1902 году Бертран Рассел доказал несостоятельность схе­мы строгого определения теории множеств, которую только что пред­ложил немецкий логик Готлоб Фреге. Это не значило, что эта схема непременно была необоснованной для использования множеств в дока­зательствах. На самом деле совсем немногие математики всерьез счи­тали, что хоть какой-то из обычных способов использования множеств, арифметики или других ключевых разделов математики может быть необоснованным. В результатах Рассела поражало то, что математики верили, что их предмет является par excellence средством получения абсолютной определенности через доказательство математических тео­рем. Сама возможность разногласий относительно обоснованности раз­личных методов доказательства подрывала всю суть (как считалось) предмета.

Поэтому многие математики чувствовали, что подведение под те­орию доказательства, а тем самым и под саму математику, надежной основы было насущным делом, не терпящим отлагательства. Они хотели объединиться после своих опрометчивых выпадов, чтобы раз и навсегда определить, какие виды доказательства являются абсолютно надежны­ми, а какие нет. Все, что оказалось вне зоны надежности, можно было бы отбросить, а все, что попадало в эту зону, стало бы единственной основой всей будущей математики.

В этой связи голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теории дока­зательства, известную как интуиционизм, которая и по сей день имеет своих сторонников. Интуиционисты пытаются толковать «интуицию» самым ограниченным постижимым образом, оставляя лишь то, что они считают ее неоспоримыми самоочевидными аспектами. Затем они под­нимают таким образом определенную математическую интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял себе Платон: они считают ее более веской, чем даже чистая логика. Таким образом, они считают саму логику ненадежной, за исключением тех случаев, когда ее до­казывает прямая математическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно иметь прямую интуицию какой-либо беско­нечной категории. Следовательно, они отрицают существование любых бесконечных множеств, например, множества всех натуральных чисел. Высказывание о том, что «существует бесконечно много натуральных чисел», они сочли бы самоочевидно ложным. А высказывание о том, что «существует больше сред Кантгоуту, чем физически возможных сред», — абсолютно бессмысленным.