Таким образом, к 1900 году наступил кризис основ математики, который заключался в том, что этих основ не было. Но что же про­изошло с законами чистой логики? Их перестали считать способными разрешить все математические споры? Удивителен тот факт, что те­перь математические споры в сущности и велись о «законах чистой логики». Первым эти законы привел в систему Аристотель еще в 4 веке до н.э., тем самым заложив то, что сегодня называют теорией доказа­тельства. Он допустил, что доказательство должно состоять из после­довательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последова­тельность утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из преды­дущих в соответствии с одним из постоянного набора законов, называ­емых силлогизмами. Типичным был следующий силлогизм

Все люди смертны.

Сократ — человек.

[Следовательно] Сократ смертен.

Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (как в данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум Х есть А» (как в данном случае «Сократ — человек»), то впоследствии в доказательстве обоснованно появление утверждения «X имеет свой­ство В» («Сократ смертен»), и это утверждение, в частности, является обоснованным выводом. Силлогизмы выражают то, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами, определяющими этапы, которые допустимы при доказательстве, такими, что истина посылок переходит к выводам. Кроме того, эти правила можно применить, чтобы опреде­лить, обосновано ли данное доказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованные доказательства можно выразить в виде силлогизмов. Но он не доказал это! А проблема теории Доказательства заключалась в том, что очень небольшое количество со­временных математических доказательств выражались в виде чистой последовательности силлогизмов; более того, большинство из них не­возможно было привести к такому виду. Тем не менее, большинство Математиков не могли заставить себя следовать букве закона Аристо­теля, так как некоторые новые доказательства казались так же само­очевидно обоснованными, как и рассуждение Аристотеля. Математики перешли на новый этап развития. Новые инструменты, такие, как сим­волическая логика и теория множеств, позволили математикам уста­новить новую связь между математическими структурами. Благодаря этому появились новые самоочевидные истины, независимые от клас­сических правил вывода, и, таким образом, классические правила ока­зались самоочевидно неадекватными. Но какие же из новых методов доказательства были действительно безошибочными? Как нужно было изменить правила вывода, чтобы они обрели законченность, на кото­рую ошибочно претендовал Аристотель? Как можно было вернуть абсо­лютный авторитет старых правил, если математики не могли прийти к соглашению относительно того, что является самоочевидным, а что бессмысленным?