Большая часть таких споров неизбежно касалась обоснованности или необоснованности различных методов доказательства. Одно из раз­ногласий было связано с так называемыми «мнимыми» числами. Новые Теоремы об обычных, «вещественных» числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапах доказательства к свойствам мнимых чисел. Например, таким образом были доказаны первые теоремы о распределе­нии простых чисел. Однако некоторые математики возражали против мнимых чисел на том основании, что они не реальны. (Современная терминология все еще отражает это старое разногласие даже сейчас, когда мы считаем, что мнимые числа так же реальны, как и «вещест­венные»). Я полагаю, что учителя в школе говорили этим математикам, что нельзя извлекать квадратный корень из минус одного, и, поэтому они не понимали, почему кто-либо другой может это сделать. Нет со­мнения в том, что они называли этот злостный порыв «математической интуицией». Однако другие математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимые числа, и как они согласуются с ве­щественными. Почему, думали они, человеку не следует определять новые абстрактные категории, имеющие свойства, которые он предпо­читает? Безусловно единственным законным основанием запретить это была бы логическая несовместимость требуемых свойств. (Это, по су­ществу, современное мнение, выработанное всеобщими усилиями, ма­тематик Джон Хортон Конуэй грубо назвал «Движением Освобождения «Математиков»). Однако общеизвестно, что никто не доказал и то, что обычная арифметика натуральных чисел является самосогласованной.

Подобным разногласиям подверглась и обоснованность использо­вания бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов, и бесконечно малых величин, используемых при ис­числении. Дэвид Гильберт, великий немецкий математик, предоставив­ший большую часть инфраструктуры как общей теории относительнос­ти, так и квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями, проистекающими из бес­конечности». Некоторые математики, как мы увидим, вовсе отрицали обоснованность рассуждения о бесконечных категориях. Легкий доступ к чистой математике в девятнадцатом веке мало что сделал для разре­шения этих разногласий. Напротив, он только усугубил их и породил новые. По мере своего усложнения математическое рассуждение неиз­бежно удалялось от повседневной интуиции, что возымело два важных противоположных следствия. Во-первых, математики стали более пе­дантичными в отношении доказательств, которые, прежде чем быть принятыми, подвергались все более суровым проверкам на соответ­ствие нормам точности. Но во-вторых, изобрели более мощные методы доказательства, которые не всегда можно было обосновать с помощью существующих методов. И из-за этого часто возникали сомнения, был ли какой-то частный метод доказательства, несмотря на свою самооче­видность, абсолютно безошибочным.