Обратите внимание также на то, что для любого £> < 1 есть по крайней мере одно канторово множество, однако поскольку Мг ^ 1 и, как следствие, N < 1/г, нет ни одного множества, размерность £> которого превышала бы 1.

МНОЖЕСТВО С НАЗЫВАЕТСЯ «ПЫЛЬЮ», ПОТОМУ ЧТО ЕГО ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ТЭТ РАВНА НУЛЮ

Фрактальная размерность I? канторова множества может изменяться в пределах от 0 до 1; с топологической же точки зрения все канторовы множества имеют размерность 0, так как, по определению, любая точка

118

Три классических фрактала — совершенно ручные о II

канторова множества отделена от любой другой, причем для ее отделения не требуется ничего удалять. С этой стороны нет никакой разницы между С и конечным множеством точек! Тот факт, что топологическая размерность £>т в последнем случае равна 0, известен нам из стандартной геометрии; мы даже используем это обстоятельство в главе 6 для доказательства того, что топологическая размерность кривой Коха /С равна 1. Вообще, Ит = 0 для любого вполне несвязного множества.

При отсутствии общепринятого обыденного термина, вроде «кривой» и «плоскости» (которые представляют собой связные множества с размерностями £>т = 1 и £>т = 2, соответственно), я предлагаю называть множества с £>т = 0 пылью.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИН ПАУЗ

Возьмем канторову пыль и обозначим через и возможное значение для длины паузы, через V — неизвестную длину паузы, а через №({/ > и) — количество пауз или трем длины II, большей, чем и. < Это обозначение построено по аналогии с обозначением Рг({7 > и) из теории вероятности. ► Оказывается, существует постоянный префак-тор -г7 — такой, что график функции №({7 > и) постоянно пересекает график Р\1ГВ'. И вновь в дело вступает размерность. Приняв за координаты 1п и и 1п Ыг, получим однородные ступени.

СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОШИБОК

Как и в случае береговых линий, можно получить приблизительное представление о последовательности ошибок, если остановить канторо-во створаживание при длине интервалов е = 3~к. Эта величина может быть равна времени, необходимому для передачи единичного символа. Кроме того, следует использовать канторову периодическую экстраполяцию с большим, но конечным значением О,.