Однако при таком повторении разрушается самоподобие, которым мы в настоящем эссе весьма дорожим. Чтобы этого избежать, следует соблюсти два простых правила: инициатор используется только для экстраполяции, а сама экстраполяция происходит в виде обратного или восходящего каскада. На первом этапе множество С увеличивается в 1/г = 3 раза и размещается на интервале [0, 3]. В результате получаем множество, включающее в себя множество С и его копию, смещенную вправо и отделенную от С новой тремой, длина которой равна 1. На втором этапе увеличиваем получившееся множество снова в 3 раза и размещаем результат на интервале [0, 9]. Получаем множество С плюс три его копии, смещенные вправо и разделенные двумя новыми тремами длины 1 и одной новой тремой длины 3. Дальнейшие этапы восходящего каскада увеличивают множество С с возрастающим коэффициентом подобия вида Зк.

При желании можно чередовать, скажем, два этапа интерполяции и один этап экстраполяции и т. д. При таком построении каждая серия из трех этапов увеличивает внешний порог П в 3 раза и уменьшает внутренний порог е в те же 3 раза.

8 о Фрактальные события и канторова пыль

117

< Отрицательная ось в такой экстраполированной пыли остается пустой — бесконечная трема. Соответствующее понятие мы обсудим позже, в главе 13, где мы рассмотрим (бесконечные) континенты и бесконечные же кластеры. ►

РАЗМЕРНОСТИ В В ИНТЕРВАЛЕ ОТ О ДО 1

Множество, полученное в результате бесконечных интерполяции и экстраполяции, самоподобно, а его размерность

В = 1п/У/т(1/г) = 1п2/1пЗ ~ 0,6309

представляет собой дробь в интервале от 0 до 1.

Изменяя правила створаживания, мы можем получить другие значения I? — собственно, любое значение между 0 и 1. При длине тремы первого этапа 1 — 2г, где 0 < г < 1/2, имеем размерность 1п2/1п(1/г).

При N ф 2 становится доступным еще большее разнообразие. Для множеств с N = 3 ж г = 1/5 находим

£> = 1пЗ/1п5 ~ 0,6826.

Для множеств с7У = 2иг = 1/4 —

£> = 1п2/1п4 = 1/2. Для множеств с N = 3 ж г = 1/9 получаем тот же результат:

£> = 1пЗ/1п9 = 1/2.

Хотя размерности двух последних множеств равны, «выглядят» они очень по-разному. Об этом наблюдении мы будем подробнее говорить в главе 34, где оно приведет нас к концепции лакунарности.