Рис. 107, вверху. Мы взяли древовидную структуру рек и водоразделов, показанную на рис. 106 справа, и привели толщину линий в соответствие с их относительной значимостью в схеме Хортона-Штра-лера (см. [297]). В настоящем примере каждой кривой (и рекам, и водоразделам) назначается ширина, пропорциональная ее длине по прямой. Реки даны черным, водоразделы — серым.

Размерности. Каждая кривая Пеано определяет размерность £> собственной границы. На рис. 95 и 98 указанная граница представляет собой просто квадрат. На последующих рисунках появляются драконова шкура и кривая-снежинка. Здесь же мы имеем дело с фрактальной кривой, размерность которой £) ~ 1,1291 и которая состоит отчасти из рек, отчасти из водоразделов. Все другие реки и водоразделы сходятся к кривой с фрактальной размерностью И = 1,1291.

Франция. Тому, кто, будучи школьником, часто разглядывал карту бассейнов Луары и Гаронны, наши иллюстрации наверняка о многом напомнят.

Рис. 107, внизу. Дерево рек, построенное непосредственно с помощью каскада Коха. Когда сам генератор имеет древовидную структуру, он порождает при построении дерево. Пусть, например, генератор выглядит вот так:

Получаем еще один способ осушения внутренней области кривой Коха с рис. 75. (Ветви, расположенные у самых «истоков», были обрезаны.)

Рис. 109 и 110. ЗАПОЛНЯЮЩИЕ ПЛОСКОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫЕ ДЕРЕВЬЯ, ПЕРЕКОШЕННАЯ СНЕЖИНКА И КВАРТЕТ

Заполняющие плоскость «речные» деревья, получаемые из некоторых кривых Пеано, могут быть получены и с помощью прямого рекурсивного построения. Ключом здесь служит генератор, который сам имеет древовидную форму. Простейший и скучнейший пример: генератор составлен из четырех отрезков, образующих фигуру, похожую на знак «+». В результате построения получим речное дерево кривой Пеано-Чезаро (см. рис. 99).

Перекошенная снежинка. Более интересного результата можно достичь, взяв в качестве инициатора отрезок [0, 1], а в качестве генератора — следующую фигуру:

Для начала обратим внимание на то, что отдельные реки порождаются генератором, который смещает среднюю точку отрезка (таким, например, как на рис. 71). Следовательно, всякая асимптотическая река имеет размерность О = 1п2/1п-\/3 = 1п4/1пЗ. Это значение хорошо знакомо нам еще по снежинке Коха, однако кривая, которой мы намерены заняться теперь, — не снежинка, поскольку размещение генератора на прямолинейных отрезках следует иному правилу.