Хаусдорф показал, что величина £> может быть весьма полезной в математике и что она совпадает с хаусдорфовой, или фрактальной, размерностью. Я же утверждаю, что без величины И не обойтись и в естественных науках.

Рис. 74. ТРОИЧНОЕ ОЗЕРО КОХА К (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ £> = 1п4/1пЗ ~ 1,2618)

Продолжим построение, описанное в пояснениях к рисункам 70 и 71, до некоторого продвинутого этапа и сфотографируем результат. Негатив такой фотографии представлен на рисунке и напоминает скорее озеро, нежели остров.

Необычный узор серых «волн», заполняющих это озеро, не случаен. Его описание можно найти в пояснениях к рисункам 104 и 105.

Береговая линия озера Коха не самоподобна, поскольку замкнутую кривую нельзя представить в виде совокупности подобных ей меньших замкнутых кривых. < Хотя в главе 13 мы используем самоподобие для построения бесконечного скопления островов. ►

Рис. 75 и 76. ДРУГИЕ ОСТРОВА И ОЗЕРО КОХА (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ £> = 1п9/1п7 ~ 1,1291)

Этим вариантом острова Коха мы обязаны В. Госперу (см. [163]): инициатором служит правильный шестиугольник, а генератор выглядит следующим образом:

Рис. 75. Здесь приведено несколько этапов построения «острова Госпера» (показан жирной линией). О внутреннем заполнении острова (тонкая линия) мы поговорим чуть позже (см. рис. 106).

Рис. 76. Одна из поздних стадий построения острова Госпера. За пояснениями относительно заполнения (линии различной толщины внутри острова) обратитесь к рис. 106.

Заметьте, что в отличие от исходной кривой Коха, этот генератор симметричен относительно своего центра. Он совмещает в себе бухты и полуострова таким образом, что площадь острова на протяжении всего построения остается неизменной. То же верно и для кривых Коха (вплоть до рис. 88).

Тайлинг. Островами Госпера можно полностью, без просветов, покрыть плоскость. Эта процедура называется покрытием, или тайлин-гом.1

Пертайлинг. Более того, этот остров самоподобен, в чем легко убедиться, взглянув на области на рисунке, заштрихованные линиями разной толщины. То есть каждый остров можно разделить на семь «провинций», каждая из которых может быть получена из целого острова преобразованием подобия с коэффициентом г = \j\fl. Для обозначения покрытия плоскости с помощью таких самоподобных плиток я предлагаю ввести новый термин пертайлинг (латинская приставка per- служит здесь для выражения совершенства и всеохватности процесса).