В роли инициатора в построении Чезаро выступает правильный шестиугольник с длиной стороны л/З/З. Окружающий остров океан изображен серым цветом. Каждый прямолинейный участок берега заменяется треугольной бухтой, размер которой уменьшается с каждым этапом построения до бесконечности, а остров Коха становится пределом уменьшающихся приближений.

На приведенном рисунке показаны оба метода построения: и метод Коха (см. рис. 70) и только что описанный метод Чезаро. При таком представлении предельная береговая линия Коха оказывается зажатой между двумя неуклонно приближающимися изнутри и снаружи тераго-нами. Можно вообразить себе некий каскадный процесс, в начале которого мы имеем три концентрических кольца: твердая земля (черная), болото (белое) и вода (серая). С каждым этапом такого каскадного процесса некоторый участок болота преобразуется либо в твердую землю, либо в воду. В пределе болото донельзя истончается, превращаясь из «поверхности» в кривую.

Интерпретация срединного смещения. Используем приведенные ниже генератор и последующий шаг (угол равен 120°):

Смещение средней точки прямолинейного отрезка наружу к-то внутреннего терагона дает к-й наружный терагон; срединное смещение внутрь к-го наружного терагона дает к + 1-й наружный терагон. Эффективность такого подхода демонстрируется на рис. 98 и 99, а также в главе 25.

Рис. 73. ДВА ВИДА САМОПОДОБИЯ: СТАНДАРТНОЕ И ФРАКТАЛЬНОЕ

На рисунке показано, как, располагая некоторым целым числом (в данном случае 6 = 5), можно разбить прямолинейный отрезок единичной длины на N = 6 подынтервалов, длина каждого из которых равна г = 1/6. Аналогичным образом мы можем разделить единичный квадрат на N = б2 меньших квадратов с длиной стороны г = 1/6. И в том, и в другом случае величина 1п N/1п(1 /V) представляет собой размерность подобия рассматриваемой фигуры, — величина, о которой школьная геометрия не считает нужным упоминать, так как ее значение сводится к евклидовой размерности.

Нижняя фигура — это троичная кривая Коха или треть побережья острова Коха. Ее также можно разбить на подобные исходной кривой фигуры меньшего размера, при этом N = 4, а г = 1/3. Размерность подобия И = 1п7У/1п(1/г) в данном случае оказывается дробным числом (ее значение ~ 1,2618), не находя себе аналогов в стандартной геометрии.