ПУАНКАРЕ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА

Сегодняшнее возрождение интереса к Пуанкаре может послужить оправданием для приведения здесь одной технической подробности, не имеющей непосредственного отношения к настоящему эссе.

Речь идет о конструкции, известной физикам под названием канонического распределения Гиббса, а статистикам — под названием распределения экспоненциального типа. В [476] Пуанкаре стремится найти такие распределения вероятностей, чтобы максимальная оценка параметра правдоподобия р, вычисляемого на основании М выборочных

м

значений хх, ..., хт, ..., хм, имела бы вид С [ ^ Р (хт)/М]. Ины-

т=1

ми словами, должна существовать возможность изменять масштаб значений х и р в таких распределениях с помощью функций Р (х) и С~1 (р) так, чтобы максимальная оценка правдоподобия р была бы равна выборочному среднему переменной х. Это, конечно же, происходит в том случае, когда параметр р является математическим ожиданием гауссовой переменной, однако Пуанкаре дает более общее решение, называемое сейчас распределением Гиббса.

41 о Исторические очерки

577

Этот факт был заново и независимо от других обнаружен Сцилар-дом в 1925 г. Затем, около 1935 г., Купман, Питман и Дармуа задались тем же вопросом относительно наиболее общей процедуры оценивания при отсутствии ограничений на максимальное значение оценки правдоподобия. Это свойство распределения Гиббса, называемое статистиками достаточностью, играет центральную роль в аксиоматическом представлении статистической термодинамики Сциларда-Гиббса (см. [339, 344]). При таком подходе свойственная статистическим выводам произвольность присутствует в определении температуры замкнутой системы, но отсутствует в выведении канонического распределения. (Более позднее аксиоматическое представление, основанное на «правиле максимальной информации», объявляет само каноническое распределение статистическим выводом, что, на мой взгляд, искажает его смысл.)

РАЗМЕРНОСТЬ

Евклид (ок. 300 г. до н. э.). Понятие размерности лежит в основе определений, которые открывают первую книгу «Начал» Евклида, посвященную геометрии плоскости:

1. Точка есть фигура, не имеющая частей.