ЭВРИСТИКА ЛИПШИЦА-ГЁЛЬДЕРА

Фрактальная размерность является по своему происхождению локальным свойством, несмотря на то, что в настоящем эссе локальные свойства оказывают влияние на свойства глобальные. Таким образом, имея дело с графиком во всех иных отношениях произвольной непрерывной функции X (t), следует соотносить размерность D с другими локальными свойствами. Одним из наиболее полезных локальных свойств является показатель Липшица-Гёльдера (ЛГ) а. Суть условия ЛГ при t+ со стоит в том, что

X(t) -X(t0) ~ \t-t0\a при 0 < t -10 < е;

аналогично оно выглядит и для случая t—. Глобальный ЛГ-показатель в интервале [t', t"} имеет вид A [г/, t"] = mît'^t^t" а. Если функция X (t) не является постоянной, А ^ 1.

ЛГ-эвристика и размерность D. Если известен показатель а, то количество квадратов со стороной г, необходимых для покрытия графика функции X между моментами времени t и t + г, приблизительно равно г"-1. Таким образом, можно покрыть график функции X (t) на участке t G [0, 1] с помощью N квадратов и приблизительно оценить размерность функции как D = lnTV/ ln(l/г). Этот способ оценки D мы будем называть эвристикой Липшица-Гёльдера. Он устойчив и весьма эффективен.

Примеры. Если функция X дифференцируема для всех t между 0 и 1, а точки, в которых X' (t) = 0, в расчет не принимаются, то на всем интересующем нас интервале а = 1, и количество квадратов, необходимых для покрытия графика функции, равно N ~ га_1(1/г) = г-1. Отсюда D = 1, что, конечно же, верно.

Если X (t) — броуновская функция (обыкновенная или дробная), то можно показать, что а = А = Н. Эвристическое значение N приблизительно равно гя_1_1, t.e.D = 2 — H, что опять же согласуется с известной размерностью D.

< Харди [194] показывает, что для функций, описанных в разделе ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА. ..,а = Н. Следовательно, можно предположить, что их размерность Хаусдорфа-Безиковича равна 2 — H. ►

39 о Математическое приложение и дополнения

541

Совершенно иначе обстоит дело с канторовой лестницей (см. рис. 125). Областью определения функции X являются здесь только те значения £, которые принадлежат фрактальной пыли с фрактальной размерностью 8 < 1, а показатель а зависит от £. Разделим интервал [0, 1] на 1/г временных промежутков длины г. В г~5 этих промежутков а = = 8, в других промежутках показатель а не определен, однако если повернуть координатные оси на небольшой угол, то а = 1. Отсюда эвристически получаем для количества покрывающих квадратов значение г-1 + г6^г = 2г~1, а для размерности £> = 1. Это в самом деле так, что и отмечено в пояснении к рис. 125.