Кроме того, для суммы броуновской функции и канторовой лестницы с 8 < Н получаем В = 2 — Н я Х = 8, следовательно, 1 < В < 2 — А.

Резюме. Подтверждение эвристически полученного неравенства 1 ^ -О ^ 2 — А можно найти в работах [317] и [30]. См. также [255], с. 27.

Об определении «фрактала». В разделе ФРАКТАЛЫ упоминается о желательности расширения рамок определения термина фрактал с тем, чтобы они включали и канторову лестницу. Может быть, нам следует сказать так: кривая фрактальна, если показатель А < 1, а показатель а близок к А при «достаточно многих» значениях £? Мне бы не хотелось следовать этим путем, так как подобные расширения довольно громоздки и, кроме того, в них проводится принципиальное различие между случаями Ит = 0 и Ит > 0.

Функции из прямой в плоскость. Возьмем две непрерывные функции X (£) и У (£) с ЛГ-показателями Ах и А2. Эвристически рассуждая, можно предположить, что для покрытия графика векторной функции от координат X (£) и У (£) на участке £ е [0, 1] потребуется не больше гА1+А2-з кубов со стороной г; следовательно, 1 ^ £) ^ 3 — — (Ах + А2). Размерность обыкновенного броуновского следа из прямой в плоскость И = 2 вполне согласуется с этим неравенством.

Проекции. Построим непрерывный след, проецируя функцию {X (£), У (£)} на плоскость (х, у). При Ах = А2 = А эвристика подсказывает, что для покрытия графика нам понадобится не более 1 /г квадратов со стороной гА; следовательно, 1 ^ В ^ птш(2, 1/А). Рассмотрим аналогичным образом непрерывный след функции {X (£), У (£), Z (4)}, координаты которой имеют одинаковые ЛГ-показатели А. Эвристическое рассуждение дает 1 ^ И ^ ппп(3, 1/А). При Ах ф А2 непрерывный след функции {X (Ь), У (Ь)} следует покрывать квадратами со стороной гтахА; значит:

1 < В < 2-тах{0, (а1 + А2 - 1)/тах(а1, А2)}. Все эти выводы нашли подтверждение в [317].

XII о О ЛЮДЯХ И ИДЕЯХ

40 о БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ

В качестве вступления к этой главе, посвященной исключительно жизнеописаниям, отметим, что ученым, придерживающимся в широкой реке научной мысли главного течения, редко достается в награду (или в наказание?) жизнь, о которой интересно рассказывать. Возьмем, например, биографию Джона Уильяма Стретта, третьего барона Рэлея. Следующие одна за другой с завидным постоянством научные победы прославили его имя почти во всех областях науки. А жизнь его, между тем, протекала без каких-либо особых происшествий, умеренно и спокойно, посвященная исключительно его развитию как ученого. Единственное событие, способное сойти за происшествие, случилось, когда юный Уильям отказался при поступлении в кембриджский Тринити-Колледж от аристократических привилегий, полагавшихся ему как старшему сыну лорда-землевладельца.