539

Самопересечения. Множество /с-кратных точек 5 можно рассматривать, как пересечение к реплик 5. Напрашивается предположение, что, с точки зрения размерности пересечения, упомянутые к реплик можно считать независимыми. По крайней мере, в одном случае эта догадка оказывается верной. С. Дж. Тейлор в работе [561] исследует следы броуновского движения и движения Леви в К1 и К2 (обобщая результаты, полученные Дворжецким, Эрдешем и Какутани). Размерность следа равна Е, а размерность множества, состоящего из его /с-кратных точек, составляет тах[0, Е — к (Е — £))]. Тейлор предположил, что этот результат верен в для всех к вплоть до к = со.

7. ПРОЕКЦИИ МНОЖЕСТВ

Эмпирическое правило таково: когда фрактал 5 размерности Е проецируется вдоль независимого от 5 направления на евклидово подпространство размерности Ео, для проекции 5* верно равенство:

размерность^ = шп(£о, О).

Приложение. Пусть х\ е 51 и х2 £ 52, где 5] и 5г - фракталы в М£ с размерностями £>1 и Е2. Через а\ и а2 обозначим некие неотрицательные вещественные числа и определим множество 5 как множество, составленное из точек вида х = а\Х\ +а2х2. Размерность Е этого множества удовлетворяет неравенству:

тах(£>1, £>2) ^ Е ^ шп(£, Ех + £)2).

Для доказательства находим прямое произведение М£ на К£ и проецируем.

В случае независимости множеств скорее всего подойдет и верхний предел размерности. При И = Е = 1 множество 5 является либо фракталом, либо множеством с интервалами.

8. СУБОРДИНАЦИЯ МНОЖЕСТВ (УМНОЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ)

См. главу 32.

9. СУБРАЗМЕРНОСТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Если внутренняя пробная функция множества 5 имеет вид /15 (р) = = ^(Е)р°, свойства фрактала полностью описываются его размерностью Е. Если же

К5 (р)=р° Ы±/Р)]А1 [Ь 1п(1/»]Д2,

то описание фрактальных свойств множества 5 оказывается более громоздким. Одной размерностью в этом случае не обойтись, требуется

540

Разное о XI

последовательность D, Ai, А2. Величины Ато можно назвать суборди-натными размерностями или субразмерностями.

Субразмерности в состоянии пролить свет на вопрос, следует ли считать фракталами пограничные множества, описанные в разделе ФРАКТАЛЫ, 3. Возможно, имеет смысл называть фракталами любое множество S, размерность D которого равна Dt, но хотя бы одна субразмерность А отлична от нуля.