538

Разное о XI

мы знаем, что типичные случайные множества имеют в качестве естественной размерности нулевую меру.

Долгое время Безикович являлся автором или соавтором почти всех публикуемых по данной теме работ. Если Хаусдорфа можно назвать отцом нестандартной размерности, то Безикович, несомненно, заслужил себе звание ее матери.

Коразмерность. Когда в роли пространства О, выступает К£, Е ^ Е, а разность Е — Е называется коразмерностью.

5. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ (СЛОЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ)

Рассмотрим множества £1 и Б2, принадлежащие, соответственно, Е\-пространству и Е2-пространству, и обозначим через 5 множество в Д-пространстве (Е = Е\ + Е2), представляющее собой произведение множеств 5х и 52. (Если Е\ = Е2 = 1, то 5 — это множество расположенных на плоскости точек (х, у), причем х е £1 и у е 52.)

Эмпирическое правило гласит, что если множества £1 и 52 «независимы», то размерность множества 5 равна сумме размерностей множеств 51 и 52.

Понятие «независимости», входящее в это правило, оказывается неожиданно сложно сформулировать и представить в общем виде. См. [413, 414], [204] и [416]. К счастью, в подобных прецедентных исследованиях (в таких, например, какие мы рассматриваем в настоящем эссе) нас, как правило, спасает интуиция.

6. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОЖЕСТВ (СЛОЖЕНИЕ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ)

Эмпирическое правило выглядит следующим образом: если £1 и 52 суть независимые множества в ^-пространстве, и

коразмерность (£1) + коразмерность (52) < Е,

то левая часть этого неравенства почти наверное равна коразмерности £1 П 52- Если сумма коразмерностей больше Е, то размерность пересечения почти наверное равна нулю.

В частности, два множества одинаковой размерности не пересекаются, если Д ^ Е/2. Размерность Е = 2Д можно, таким образом, назвать критической.

Примечательно, что два броуновских следа (при том, что размерность броуновского следа Е = 2) пересекаются при Е < 4 и совершенно не соприкасаются при Е ^ 4.

Правило очевидным образом распространяется и на пересечения более чем двух множеств.

39 о Математическое приложение и дополнения