Типичные случайные фракталы, пусть даже и статистически самоподобные, также обладают внутренней функцией /15 (р), однако она имеет более сложный вид — например, /15 (р) = р°\ \пр\. В этом случае /г-мера множества 5 относительно функции Н (р) = 7 (Е)р° обращается в нуль, т. е. фигура содержит меньше «вещества», чем если бы она была £>-мерной, но больше, чем если бы она была Е — е-мерной. В качестве примера можно привести траекторию броуновского движения на плоскости, внутренняя функция для которого, согласно Леви, имеет вид /15 (р) = р2 1п 1п (1/р). См. [560].

Поскольку двумерная мера любого ограниченного множества на плоскости конечна, пробные функции вида р2/\п(1/р) не могут быть внутренними ни для какого плоского множества.

Автором (либо соавтором) многих работ, посвященных определению внутренних функций /25 (р) случайных множеств, является С. Дж. Тейлор; особо рекомендую обратить внимание на статью [484] (написанную им в соавторстве с У. Э. Прюиттом).

4. РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА-БЕЗИКОВИЧА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если известно, что множество 5 двумерно, вполне достаточно оценить хаусдорфову Н-меру для Н (р) = тгр2. Однако определение хаус-дорфовой меры сформулировано таким образом, что предварительного знания размерности И не требуется. Имея дело со стандартной фигурой неизвестной размерности, мы будем оценивать ее меру для всех пробных функций Н (р) = г)(в)р<1, где в, — целое число. Если длина фигуры бесконечна, а объем равен нулю, то она может быть только двумерной.

Безикович распространил суть последнего заключения на случаи, в которых показатель в, не является целым числом, а множество 5 — стандартной фигурой. Он показал, что для каждого множества 5 существует такое вещественное значение Е, что й-мера этого множества при 3, < Е) бесконечна, а при дь > Е) обращается в нуль.

Эта величина Е и называется размерностью Хаусдорфа-Безико-вича множества 5.

Для физика это означает, что величина Е представляет собой критическую размерность.

_0-мерная хаусдорфова мера _0-мерного множества 5 может быть либо равна нулю, либо бесконечна, либо положительна и конечна. Хаус-дорф ограничился только последним, самым простым, случаем и показал, что в эту категорию входят канторовы множества и кривые Коха. Если множество 5 ко всему прочему еще и самоподобно, легко заметить, что его размерность подобия должна быть равна Е. С другой стороны,