536

Разное о XI

2. ХАУСДОРФОВА МЕРА

Хаусдорф [203] расширяет определение Каратеодори, допуская возможность дробного значения с1 (функция 7 (с1) записывается таким образом, что она при этом продолжает иметь смысл). Таким образом, мы больше не ограниченны степенями р, а вольны использовать любую положительную пробную функцию Ь, (р), которая стремится к нулю вместе с р.

Более того, поскольку шар представляет собой всего лишь множество точек, расстояние до которых от центра ю не превышает заданного радиуса р, шар продолжает оставаться определенным даже в случае неевклидова пространства О, — при условии, что в этом пространстве определено расстояние. Как мы уже отмечали, такие пространства называются метрическими, следовательно, и хаусдорфова мера представляет собой метрическое понятие.

Если задана некоторая пробная (или «калибровочная») функция К (р), то можно сказать, что мера конечного покрытия множества 5 шарами радиуса рт равна ^ Ь, (рт)- Для получения наиболее экономичного покрытия мы рассматриваем все покрытия шарами, радиус которых меньше р, и образуем инфимум

При р —> 0 ограничение рт < р становится чрезвычайно жестким. То есть выражение птг ^к(рт) может только возрастать; у него есть предел, который имеет вид

Этот предел может быть конечным положительным, отрицательным или нулевым. Он определяет /г-меру множества 5.

Если Н (р) = 7 {<Л)р<1, то /г-мера называется ^-мерной. Точнее говоря, из-за префактора 7 (<£) /г-мера является нормированной ^-мерной мерой.

Если Н (р) = 1/ 1п \р\, то /г-мера называется логарифмической.

3. ВНУТРЕННЯЯ ПРОБНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА

Функцию /г (р) можно назвать внутренней для множества 5 и обозначить как Л-5 (р), если /г^-мера 5 положительна и конечна. Эту меру можно назвать фрактальной мерой множества 5.

Для стандартных фигур евклидовой геометрии внутренняя пробная функция всегда имеет вид /15 (р) = ^(Е)р°, где Д — некоторое целое число. Хаусдорф показал, что внутренней для канторовых пылей и

39 о Математическое приложение и дополнения

537

кривых Коха является функция /15 (/э) = гу(Е)рв с нецелочисленным значением Е.