Функция С (х) представляет собой случайно взвешенное среднее характеристических функций пустот множества 5. Иными словами, в каждом отдельном пустом промежутке С (х) постоянна, а ее значения

39 о Математическое приложение и дополнения

535

в других пустотах являются независимыми случайными величинами с одинаковым распределением.

Под старым и часто неверным названием ядерной функции функция С (х) вводится и исследуется в работах [347, 352, 357].

ХАУСДОРФОВА МЕРА И РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА - БЕЗИКОВИЧА

В качестве удобных источников общих сведений по теме рекомен-дую [231], [35], [497], [3].

1. МЕРА КАРАТЕОДОРИ

Кантору приходила в голову мысль о том, что «при исследовании размерностей непрерывных множеств невозможно обойтись без общего понятия объема или величины», однако он, по всей видимости, не уделил ей должного внимания. Лебег полагает, что, имей Кантор полное представление о сложности стоящей перед ним задачи, ему вряд ли удалось бы достичь сколько-нибудь значительных результатов. Эта мысль получила дальнейшее развитие в работе Каратеодори [67] и была впоследствии воплощена Хаусдорфом [203].

Классическая процедура оценки площади плоской фигуры начинается с аппроксимации множества S с помощью набора очень маленьких квадратов; далее сторона каждого квадрата возводится в степень D = 2 и полученные результаты складываются. Каратеодори [67] расширяет рамки этого традиционного подхода. Заменив квадраты дисками, он избегает зависимости от координатных осей; кроме того, с самого начала предполагается, что мы не знаем, является ли множество S стандартной евклидовой фигурой известной размерности, вложенной в известное пространство ЖЕ.

Заметим теперь, что если плоскую фигуру, вложенную в трехмерное пространство, можно покрыть дисками, то ее a fortiori можно покрыть шарами, экваторами которых являются эти диски. Следовательно, если мы не хотим заранее считать множество S плоским, нам достаточно покрыть его вместо дисков шарами. Если же S и в самом деле является поверхностью, ее приближенную меру можно получить простым сопоставлением каждому шару выражения вида 7г/з2 и последующим сложением этих выражений. В более общем виде, для получения меры какой-либо (i-мерной фигуры следует складывать выражения вида h (р) = 7 (d)pd; входящая сюда функция 7 (d) = [Г (Уг^/Г (1 + d/2) была определена ранее в этой главе как протяженность шара единичного радиуса. На этом основании Каратеодори [67] распространяет понятия «длины» и «площади» и на нестандартные фигуры.