534

Разное о XI

с. 490), а фрактальные размерности их множеств уровня совпадают с фрактальными размерностями множеств уровня дробных броуновских функций.

Фрактальные свойства. Согласно теореме, доказанной в работах [317] и [30] (см. раздел ЭВРИСТИКА ЛИПШИЦА-ГЁЛЬДЕРА), фрактальная размерность графика функции с некоторым показателем Н, удовлетворяющей при всех х условию Липшица, находится в интервале от 1 до 2 — Н. Известно, что в случае броуновской функции с тем же кумулятивным спектром /~2Я размерность принимает наибольшее возможное значение 2 — Н = И. Я предполагаю, что то же верно и для кривой Вейерштрасса. А размерность ее нуль-множества равна 1 — Н.

Нуль-множества родственных функций. Функции Радемахера представляют собой «ступенчатые» варианты синусоид вида $т(2жЪп1), где Ъ = 2. Когда синус положителен (отрицателен, обращается в нуль), значение функции Радемахера равно 1 (соответственно, —1 и 0) (см. [616], I, с. 202). Естественным обобщением функции Вейерштрасса является ряд, п-й член которого представляет собой произведение го™ на п-ю функцию Радемахера. Эта обобщенная функция разрывна, однако ее спектральный показатель по-прежнему равен 2Н. Учитывая прецедент в лице дробного броуновского движения, можно предположить, что размерность нуль-множеств функции Вейерштрасса-Радемахера окажется равной 1—Н. Это предположение находит подтверждение в [31], однако только для целочисленных 1/Н.

Сингх [526] упоминает о многих других вариантах функции Вейерштрасса. Размерность И нуль-множеств некоторых из них легко поддается оценке. Вообще, эта тема явно заслуживает более подробного исследования с учетом достижений современной теоретической мысли.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И КОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ

ФУНКЦИИ

Классическое определение характеристической функции J (£) при заданном множестве 5 имеет следующий вид: J (х) = 1, если х е 5, и Л (х) = 0, если х ф 5. Когда множество 5 представляет собой канторо-во множество, решетку (салфетку или ковер) Серпинского, фрактальную сеть или любое множество из нескольких других классов фракталов, функция J (х) не совсем удобна. На мой взгляд, часто бывает удобнее заменить функцию J (х) другой функцией, С (х), которую ввел я и которую предлагаю назвать кохарактеристической.