К сожалению, получаемый в результате ряд расходится, и повинны в этом низкочастотные компоненты. Такой дефект называется инфракрасной (ИК) расходимостью (или «катастрофой»). Как бы то ни было, с этой расходимостью приходится мириться, поскольку иначе нижняя граница / = 1 вступает в противоречие с самоподобием, присущим энергетическому спектру /~2Я.

39 о Математическое приложение и дополнения

533

Модифицированная функция Вейерштрасса, самоаффинная относительно фокального времени £ = 0. Самая простая процедура, позволяющая продолжить частотный спектр /~2Я функции Вейерштрасса до значения / = 0 и избежать при этом катастрофических последствий, состоит из двух этапов: сначала получаем выражение У/о (0) — У/о (£), и лишь затем позволяем п принимать любое значение от — со до со. Добавочные члены, соответствующие значениям п < 0, при 0 < Н < 1 сходятся, а их сумма непрерывна и дифференцируема. Модифицированная таким образом функция

оо

У/г (*) - У/г (0) = (1 - и?)-'2 ^ тп[ехр{2тЬпЬ) - 1]

— ОО

по-прежнему является непрерывной, но нигде не дифференцируемой. Вдобавок, она масштабно-инвариантна в том смысле, что

оо

У/г (Л™) - У/г (0) = (1 - го2)"^^ иГтгои+т [ехр(2тгг6и+т£) - 1] =

— ОО

= ъи-т[У/г(г) -У/г(0)].

Таким образом, функция гот [У/г (6т£) — У/г (0)] не зависит от т. Можно сказать иначе: при г = Ът функция г~н[У/г (Н) - У/г (0)] не зависит от К. То есть функция У/г (г) — У/г (0), ее вещественная и мнимая части самоаффинны относительно значений г вида Ь~т и фокального времени * = 0.

Подробное исследование функций Вейерштрасса У/г (£) (модифицированных) в сопровождении очень наглядной и информативной графики дается в работе Берри и Льюиса [26].

Гауссовы случайные функции с обобщенным спектром Вейерштрасса. Следующим шагом на пути к реализму и широкой применимости является рандомизация обобщенной функции Вейерштрасса. Простейший и наиболее естественный метод заключается в умножении ее коэффициентов Фурье на независимые комплексные гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Вещественная и мнимая части получаемой в результате функции могут с полным правом называться функциями Вейерштрасса-Гаусса (модифицированными). В некоторых смыслах эти функции можно считать приближенными дробными броуновскими функциями. Когда значения Н совпадают, их спектры настолько похожи, насколько позволяет то обстоятельство, что один из этих спектров непрерывен, а другой дискретен. Более того, к функциям Вейерштрасса-Гаусса применимы результаты Орея [457] и Маркуса [412] (см.