532

Разное о XI

отчасти, поскольку при определенных значениях I производная В! (£) все-таки существует (см. [169, 528]).

Ультрафиолетовая расходимость/катастрофа. Термин «катастрофа» появился в физике в первом десятилетии XX века, когда Рэлей и Джине независимо друг от друга разработали теорию излучения абсолютно черного тела, согласно которой энергия частотного диапазона ширины <1/ в окрестности частоты / пропорциональна /_4. Это означает, что совокупная энергия спектра на высоких частотах бесконечна — что оказывается весьма катастрофичным для теории. Поскольку источником неприятностей являются частоты, лежащие за ультрафиолетовой частью спектра, явление получило название ультрафиолетовой (УФ) катастрофы.

Всем известно, что Планк построил свою квантовую теорию на руинах, в которые обратила теорию излучения именно УФ-катастрофа.

Историческое отступление. Отметим (хотя я не совсем понимаю, почему никто не сделал этого раньше; во всяком случае, в доступных мне источниках я ничего похожего не обнаружил), что причиной смерти как старой физики (11900), так и старой математики (|1875) является одна и та же расходимость, подорвавшая их веру в то, что непрерывные функции просто обязаны быть дифференцируемыми. Физики отреагировали простым изменением правил игры, математикам же пришлось научиться жить с недифференцируемыми функциями и их формальными производными. (Последние представляют собой единственный часто применяемый в физике пример обобщенной функции Шварца.)

В поисках масштабно-инвариантного дискретного спектра. Инфракрасная расходимость. Хотя частотный спектр броуновской функции непрерывен, масштабно-инвариантен и существует при / = = 0, частотный спектр функции Вейерштрасса, соответствующей тому же значению Н, дискретен и ограничен снизу значением / = 1. Наличие нижней границы обусловлено исключительно тем обстоятельством, что число Ь у Вейерштрасса изначально было целым, а функция — периодической. Для устранения этого обстоятельства следует, очевидно, позволить п принимать любое значение от — ею до +оо. А для того, чтобы энергетический спектр стал масштабно-инвариантным, достаточно сопоставить каждой частотной компоненте Ьп амплитуду го™.