Сравнение с дробным броуновским движением. Суммар-

г — 9я

ная энергия пропорциональна / еще в нескольких рассмотренных нами ранее случаях: а) дробные периодические случайные функции Фурье-Броуна-Винера, допустимые частоты для которых имеют вид / = п, а соответствующие коэффициенты Фурье равны пн~ ^; б) случайные процессы с непрерывной спектральной плотностью совокупности, пропорциональной 2Н/~2Н~1. Последние процессы суть не что иное, как дробные броуновские функции Вд (£), описанные в главе 27. Например, при Н = г/2 можно обнаружить кумулятивный спектр функции Вейерштрасса (/_1) в обыкновенном броуновском движении, спектральная плотность которого пропорциональна /~2. Существенное различие: броуновский спектр абсолютно непрерывен, тогда как спектры функций Фурье-Броуна-Винера и Вейерштрасса дискретны.

Недифференцируемость. Для доказательства отсутствия у функции У/о (£) конечной производной при любом значении £ Вейерштрассу пришлось объединить два следующих условия: а) Ь — нечетное целое число, вследствие чего функция У/о (£) представляет собой ряд Фурье, и б) к^ь(1 + 37г/2) < В < 2. Необходимое и достаточное условия (Ь > 1 и 1 < и < 2) взяты нами из статьи Харди [194].

Расходимость энергии. Привычному к спектрам физику условия Харди представляются очевидными. Применяя эмпирическое правило, гласящее, что производная функции вычисляется умножением ее к-го коэффициента Фурье на к, физик находит для формальной производной функции У/о (£), что квадрат амплитуды коэффициента Фурье с к = Ьп равен (1 — и!2)~1и>2пЬ2п. Так как совокупная энергия на частотах, больших Ьп, бесконечна, физику становится ясно, что производную У/'о (£) определить невозможно.

Интересно отметить, что Риман в поисках примера недифференци-

оо

руемости пришел к функции К (£) = ^ п~2 ъ\п(2-кп21), энергия спектра

1

которой на частотах, больших / = п2, пропорциональна п~3 = /_2Я, где Н = 3/4. Таким образом, применяя то же эвристическое рассуждение, можно предположить, что производная К' (£) неопределима, а значит, функция Я (£) недифференцируема. Заключение это верно лишь