530

Разное о XI

4. ВАРИАНТ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие емкостной размерности или размерности Фростмана (см. ПОТЕНЦИАЛЫ И ЕМКОСТИ, 4) удовлетворяет критерию, установленному в подразделе 2 данного раздела, просто потому, что ее значение совпадает со значением И. Следовательно, можно сформулировать альтернативное определение фрактала как множества, емкостная размерность которого больше его топологической размерности.

5. ФРАКТАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА, ВНУТРЕННИЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ

Некоторое количество сырого материала на эту тему можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ И ИНФРАКРАСНАЯ

КАТАСТРОФЫ

Комплексная функция Вейерштрасса имеет вид

сю

]¥0 (*) = (1 - и)2)-Ъ ^2 го™ ехр(2тгг6иг), о

где Ь > 1 — некоторое вещественное число, а го записывается либо как го = Ъ~н (0 < Я < 1), либо как го = Ь°^2 (1 < В < 2). Вещественная и мнимая части функции \Уо (£) называются, соответственно, косинусоидой и синусоидой Вейерштрасса.

Функция ]¥о (£) непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако ее формальное обобщение на случай Е < 1 и непрерывно, и дифференцируемо.

Кроме самой функции ]¥о (£) в настоящем разделе рассматриваются некоторые ее варианты; необходимость в их представлении обусловлена тем новым смыслом, который придала функции Вейерштрасса теория фракталов.

Частотный спектр функции Ш0 (£). Термин «спектр», на мой взгляд, перегружен значениями. Под частотным спектром понимается множество допустимых значений частоты / безотносительно к амплитудам соответствующих составляющих.

Частотный спектр периодической функции представляет собой последовательность положительных целых чисел. Частотный спектр броуновской функции — это К+. Частотный же спектр функции Вейерштрасса есть дискретная последовательность Ьп от п = 1 до п = со.

39 о Математическое приложение и дополнения

531

Энергетический спектр функции И^о (<). Под энергетическим спектром понимается множество допустимых значений частоты / вместе со значениями энергии (квадратами амплитуд) соответствующих составляющих. На каждое значение частоты вида / = Ьп в функции У/о (£) имеется спектральная линия энергии вида (1 — и!2)~1и!2п. Следовательно, суммарное значение энергии на частотах / ^ Ъп сходится и пропорционально т2п = Ь~2пН = /~2Я.