В > ЕТ,

где Е) — размерность Хаусдорфа-Безиковича, а Е>т — топологическая размерность.

39 о Математическое приложение и дополнения

529

Фракталы, описанные в этой книге, представляют собой, за одним исключением, множества в евклидовом пространстве размерности Е < со. Их можно назвать евклидовыми фракталами. Исключение представлено в главе 28: броуновскую береговую линию на сфере можно рассматривать как риманов фрактал.

2. КРИТИКА. РАЗМЕРНОСТИ ЧАСТИЧНО АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЧИСТО ФРАКТАЛЬНЫЕ

Вышеприведенное математическое определение является строгим, но не окончательным. Желая уточнить его, мы могли бы предложить несколько, на первый взгляд, вполне естественных поправок, однако здесь следует соблюдать известную осторожность.

Давным-давно, в поисках подходящей меры для свойств, которые впоследствии назовут фрактальными, я решил остановиться на размерности Хаусдорфа-Безиковича D, так как она была изучена основательнее остальных. Мне, однако, до сих пор не дает покоя то обстоятельство, что авторы трактатов, подобных [141], считают своим долгом вводить все новые и новые бесчисленные варианты мер, отличающихся от D весьма незначительными деталями. Как бы то ни было, рассмотрение этих деталей можно пока отложить.

Кроме того, при наличии нескольких возможных вариантов размерностей необходимо избегать тех, что связаны с явно внешними характеристиками. Наиболее же существенно то, что в понятии размерности D совершенно отсутствует арифметический аспект, чего нельзя сказать ни о размерности Фурье Dp (с. 511), ни о показателе Безиковича-Тейлора (с. 510, см. также [251], с. 89).

3. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ СЛУЧАИ ХАУСДОРФА

Промежуточные случаи всегда очень проблематичны. Неспрямляе-мую кривую с размерностью D = 1 можно a priori назвать как фрактальной, так и нефрактальной; то же верно и в случае любого множества, для которого D = Вт, а хаусдорфова мера, полученная с помощью пробной функции h(p) = ~f(D)pD, бесконечна (не может обратиться в нуль). Приведу еще более раздражающий пример: канторова чертова лестница (см. рис. 125) на интуитивном уровне воспринимается как фрактал, поскольку она самым очевидным образом демонстрирует различные масштабы длины. Меня решительно не устраивает, что ее нельзя считать фракталом, пусть даже и D = 1 = Dt (см. с. 541). За неимением иных критериев, я провожу границу, руководствуясь соображениями краткости определения. Если (и когда) будет предложен другой достойный критерий, определение нужно будет соответствующим образом изменить. См. также раздел ХАУСДОРФОВА МЕРА..., 8.