1 1

У Еи~г'~хи<3,и = Е У и~° а\и < со.

о о

Случай 1 < Е) < 2. В этом случае вышеприведенный интеграл расходится, т. е. общий вклад малых скачков составляет бесконечную величину. Вследствие этого функция X (£) содержит два члена, непрерывный и скачковый; каждый из членов бесконечен, однако сумма их конечна.

526

Разное о XI

9. УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ ВЕКТОРЫ И ФУНКЦИИ

Заменим случайную величину X в функциональном уравнении (Ь), участвующем в определении устойчивости, случайным вектором X. Если задан некоторый единичный вектор V, то очевидно, что система уравнений (Ь) и (А : И) имеет элементарное решение — произведение вектора V на скалярную устойчивую случайную величину.

Леви [304] показывает, что общее решение есть просто сумма всех элементарных решений, каждое из которых соответствует своему направлению в пространстве и взвешено в соответствии с некоторым распределением по поверхности единичной сферы. Вклады этих решений могут быть дискретными (конечными или счетно бесконечными), либо бесконечно малыми. Для того, чтобы вектор X был изотропным, элементарные вклады должны быть распределены равномерно по всем направлениям.

Устойчивые по Леви векторные функции от времени. Подобно устойчивым скалярным функциям, векторные функции допускают разложение в сумму скачков, следующих гиперболическому распределению. Размеры и направления скачков определяются распределением по поверхности единичной сферы.

Распределение Хольтсмарка. Спектроскопические исследования Хольтсмарка [220] пережили свое время благодаря тому, что их результаты оказалось возможным переформулировать в терминах ньютоновского притяжения (см. [76]); до появления моих работ только в этих исследованиях фигурировал конкретный пример устойчивого по Леви распределения. Предположим, что в точке О имеется некая звезда, а в пространстве распределено (независимо друг от друга и с ожидаемой плотностью 3) еще некоторое количество звезд единичной массы. Какова общая сила притяжения, испытываемая звездой О со стороны этих звезд? Вскоре после того, как Ньютон открыл свой знаменитый обратно-квадратичный закон притяжения, преподобный Бентли написал ему письмо, в котором указал на то, что притяжение звезд, заключенных внутри узкого конуса (Ю! с вершиной в точке О, имеет бесконечное математическое ожидание; то же можно сказать и о притяжении звезд, заключенных внутри узкого конуса <Ш1", симметричного конусу сКУ относительно точки О. Бентли заключил, что разница между этими бесконечностями не определена.