При решении задачи Хольтсмарка (в том виде, в каком ее обычно формулируют) подобная трудность нам не грозит, так как здесь мы имеем дело не с самими математическими ожиданиями, а с разностями между действительными и ожидаемыми величинами притяжения. Для начала рассмотрим звезды, заключенные внутри области, ограниченной вышеописанным конусом угловой величины сЮ, и сферами радиусов г

39 о Математическое приложение и дополнения

527

и г + дьг. Каждая звезда притягивает с силой и = г 2, а их количество представляет собой пуассонову случайную величину с ожиданием 5\с1,П\с1,(г3) = 5\сЮ,\ |й!(и~3/2)|. Следовательно, для разности между действительным притяжением и его математическим ожиданием имеем характеристическую функцию

оо

ехр{£|(Ш| J[exp(i(u) - 1 - г(и] |й(и~3/2)|}. о

Как выясняется, эта разность соответствует устойчивой по Леви случайной величине с показателем /0 = 3/2 и /3 = 1. Из подраздела 6 (см. выше) нам известно, что большое положительное значение и обусловлено, скорее всего, присутствием одной-единственной звезды вблизи точки О и не зависит от плотности звезд в других местах; распределение случайной величины и при очень больших и ведет себя как распределение величины притяжения ближайшей звезды.

Таким образом, общее избыточное притяжение представляет собой изотропный устойчивый по Леви вектор с /О = 3/2.

Смысл устойчивости можно объяснить так: допустим, звезда О испытывает притяжение со стороны двух равномерно распределенных звездных облаков, состоящих, скажем, из красных и голубых звезд; тогда величины силы притяжения только красных звезд, только голубых звезд и всех звезд вместе различаются лишь масштабным коэффициентом, а не аналитической формой их распределений.

10. УСТОЙЧИВЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

Построение броуновской функции из пространства в прямую, предложенное Ченцовым [79], обобщено мною для устойчивого случая в [379].

11. РАЗМЕРНОСТИ

Самые ранние вычисления размерности устойчивого процесса для негауссова случая можно найти в работах [420] и [39, 41]. Полная библиография приведена у Прюитта и Тейлора [484].

12. МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ВЗВЕШЕННОМ СЛОЖЕНИИ