Нестандартный случай (X2) = со намного сложнее: а) выбор адг и бдг не всегда возможен; б) когда выбор возможен, предел оказывается устойчивым негауссовым; в) для того, чтобы показатель предела был

39 о Математическое приложение и дополнения

525

равен Е, достаточно, чтобы последовательность Хп имела асимптотически гиперболическое распределение с показателем Е (см. главу 38); г) необходимое и достаточное условие приводится в источниках, перечисленных в начале этого раздела.

8. УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Эти функции представляют собой случайные функции со стационарными независимыми приращениями, причем величина приращений X (£) — X (0) является устойчивой по Леви случайной величиной. Масштабный коэффициент а (£), благодаря которому величина [X (£) — — X (0)]а (£) остается независимой от £, должен иметь вид а (£) = £_1/л'. Этот процесс является обобщением обыкновенного броуновского движения на случай Е /2.

Наиболее поразительное свойство функции X (£) заключается в том, что она разрывна и содержит скачки.

Случай Е) < 1. В этом случае X (£) не содержит ничего, кроме скачков, причем количество скачков, происходящих за интервал от £ до £ + А£ и имеющих абсолютное значение, превышающее и, представляет собой распределенную по закону Пуассона случайную величину с математическим ожиданием А£|и~"°.

Относительные количества положительных и отрицательных скачков равны, соответственно, У2(1 + 0) и У2(1 — 0). Крайний асимметричный случай /3=1 допускает только положительные скачки; такая функция называется устойчивым субординатором и служит для определения лестниц Леви, изображенных на рис. 399 и 400.

Парадокс. Поскольку и~° —> со при и —> 0, общее ожидаемое количество скачков бесконечно, какой бы малой ни была величина А£. То обстоятельство, что связанная с этим ожиданием вероятность также окажется бесконечной, представляется парадоксальным. Однако парадоксальность исчезает, как только мы обращаем внимание на то, что общее количество скачков, для которых и < 1, составляет конечную величину. Этот вывод выглядит вполне естественным, если отметить, что ожидаемая длина малого скачка конечна и пропорциональна