524

Разное о XI

и у = и. По мере того, как и —> ±со, становится все труднее отличить эти огивы от огив Копти с центрами в точках 0 и и.

Когда плотность р (и) представляет собой плотность возвращений броуновской функции, ситуация напоминает случай Копти, только еще более крайний, причем плотность условного распределения является бимодальной с вероятностью > У2.

Вывод: рассмотрим три последовательных возвращения в нуль некоторого случайного блуждания: T^-i, и T^+i. Если значение разности Tfc_i — Tk+\ велико, то точка среднего возвращения с наибольшей вероятностью располагается чрезвычайно близко либо к точке Т^-ъ либо к Tfc+i, вероятность же того, что она окажется где-нибудь посередине между крайними возвращениями, можно полагать наименьшей. < Этот результат сродни одному знаменитому «противоестественному» правилу из теории вероятности: закону арксинуса Леви. ►

Рассмотрим теперь условное распределение величины U, если известно, что сумма М величин Ug принимает очень большое значение и. В случае гауссова распределения результат, скорее всего, окажется таким: каждое слагаемое Ug будет приблизительно равно и/М. В случае же Коши (равно как и в случае броуновских возвращений) следует ожидать прямо противоположного результата: все слагаемые, кроме одного, будут очень малы.

Несоответствие, заключенное в идее «одинаковых» вкладов в сумму. Из того, что слагаемые a priori одинаковы (т. е. имеют одинаковое распределение), следует, что их значения могут a posteriori оказаться либо почти равными (как в случае гауссова распределения), либо в различной степени неравными (как в случае устойчивого по Леви распределения при очень большом значении суммы).

7. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. РОЛЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дана бесконечная последовательность Хп, составленная из независимых и одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная задача формулируется следующим образом: возможно ли

N

выбрать такие веса ап и Ьп, чтобы сумма адг J2Xn — бдг имела нетри-

1

виальный предел при N —> со?

В стандартном случае (X2) < со ответ на этот вопрос стандартен и утвердителен: адг = l/V^V, ~ (Xn)y/N, а предел является гауссовым.