523

Во всех крайних асимметричных случаях с 0 < Е < 1 плотность при х < 0 обращается в нуль.

В результате обобщения того факта, что гауссова плотность равна ехр(—Уз^г2), мы имеем небольшой хвост крайних асимметричных случаев с 1 < О < 2. Плотность здесь сх ехр(—с\х\г>^£>~1'>).

При х —> со плотность Коши сх (тт)-1!-0-1, а плотность возвращений броуновской функции сх ^х~в~х. В общем виде, при любом В / 2 плотность в длинном хвосте (или хвостах) сх х-0-1.

В иных случаях поведение плотности р (и) приходится находить численно. В [335] приведены графики для крайнего асимметричного случая, в [336] к ним добавлены примечания относительно очень близких к 2 значений /О, а в [341] — графики для симметричного случая. Методы быстрого преобразования Фурье значительно облегчают эту задачу, см. [120, 121].

6. НЕРАВЕНСТВО СЛАГАЕМЫХ И ПРОИСТЕКАЮЩАЯ ИЗ НЕГО КЛАСТЕРИЗАЦИЯ

Пусть Х\ и Х2 независимые случайные величины с одинаковой плотностью вероятности р(и). Плотность вероятности величины X = = Х\ + Х2 имеет вид

оо

р2(и)= I р{у)р{и-у)(1у.

—оо

Если известно значение суммы и, то плотность условного распределения каждого из слагаемых у равна р{у)р{и — у)/р2(и). Рассмотрим подробно форму этой плотности.

Примеры. Когда плотность р (и) является гауссовой плотностью с единичной дисперсией, т. е. унимодальной функцией (или функцией с одним максимумом), условное распределение также является гауссовым с центром в точке У2и, а его дисперсия равна У2, т.е. не зависит от и (см. раздел БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА, 3). При и —> со относительные значения слагаемых почти равны.

Когда плотность р (и) представляет собой приведенную плотность Коши, т. е. снова унимодальную функцию, следует различать два очень непохожих случая. При \и\ ^ 2, что составляет половину всех значений и, условное распределение также унимодально, а наиболее вероятным значением снова является У2и. В противоположном случае (при |м| > 2) значение 1/2и становится наименее вероятным (локально). При \и\ = 2 условное распределение разветвляется на две отдельных «огивы», центры которых расположены в окрестности точек у = 0