4. ОБОБЩЕННЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Коши рассмотрел также обобщенное вспомогательное соотношение

(А :В) з° + з° = з°.

522

Разное о XI

Симметричные решения. Основываясь на формальных расчетах, Коши утверждает, что система уравнений (£) и (А : D) имеет при любом значении D единственное решение: случайную величину, плотность которой имеет вид

оо

7Г-2 J ехр(—uD) cos(ux) du. о

Пойа и Леви показывают, что при 0 < D ^ 2 предположение Коши и в самом деле подтверждается, а гауссово распределение и распределение Коши являются частными случаями этого правила. Однако при D > 2 это предположение оказывается несостоятельным, поскольку в этом случае вышеприведенная формальная плотность принимает отрицательные значения, что есть абсурд.

Крайние несимметричные решения. Леви, кроме того, показывает, что система уравнений (L) и (А : D) допускает и несимметричные решения. В случае наиболее экстремально асимметричных решений порождающая функция (преобразование Лапласа) определена и равна exp(gD).

Другие несимметричные решения. Общим решением системы уравнений (L) и (А : D) является взвешенная разность двух независимых одинаково распределенных решений с крайней асимметрией. Веса принято обозначать через г/2 (1 + /3) и г/2 (1 — /3).

Окончательное обобщение уравнения (L). При неизменном (А : D) заменим условие (L) условием

(L*) вгХг + s2X2 = sX + const.

При D ф 1 такая замена ничего не меняет, однако при D = 1 система допускает дополнительные решения, которые называются асимметричными случайными величинами Коши.

Бактерии-мутанты. В статье [377] я показал, что общее количество мутировавших бактерий в старой культуре (задача Луриа-Дельбрюка) представляет собой устойчивую по Леви случайную величину с крайней асимметрией.

5. ФОРМА УСТОЙЧИВЫХ ПО ЛЕВИ ПЛОТНОСТЕЙ

Если не считать трех исключений (£> = 2с/3 = 0, £> = 1 с /3 = О и £) = Уз с /3 = 1), нам не известны устойчивые по Леви распределения в замкнутой аналитической форме, однако свойства этих простых исключений можно обобщить и на другие случаи.

39 о Математическое приложение и дополнения