Рг(Х > -х) = Рг(Х < х) = У2 + тг-1 tg-1 х;

отсюда

плотность Коши = 1/[тг(1 + х2)}.

Коши показал, что эта случайная величина является решением системы уравнений, составленной из (Ь) и альтернативного вспомогательного соотношения

(А : 1) 51 + 52=5.

Для случайной величины Коши (X2) = со или, точнее, (X) = со. То есть для выражения такой очевидной вещи, как равенство масштаба

39 о Математическое приложение и дополнения

521

произведения случайной величины X на некоторое неслучайное число в произведению в на масштаб X, нам потребуется для измерения масштаба величина, отличная от среднеквадратического значения. Одним из кандидатов на эту роль является расстояние между квартилями Я и Я', где Рг(Х < Я') = Рг(Х > Я) = У4-

Чаще всего случайная величина Коши используется в качестве контрпримера, как это сделано, например, в [33], с. 321-323. См. также [212].

Геометрическая порождающая модель. Вышеприведенную формулу Рг(Х < х) = У2 + 7г-1 tg~1 х можно реализовать геометрически, разместив точку У/ с равномерным распределением вероятностей на окружности и2 + V2 = 1 и определив X как абсциссу точки, в которой прямая, проходящая через начало координат О и точку У/, пересекает прямую V = 1. Случайная величина У, определяемая в этом же построении как ордината точки, в которой прямая, проходящая через О и У/, пересекает прямую и = 1, имеет то же распределение, что и X. Поскольку У = 1/Х, получается, что величина, обратная случайной величине Коши, также является случайной величиной Коши.

Более того: всякий раз, когда вектор ОУ/ = (X, У) является изотропно распределенным случайным вектором в плоскости, величина У/Х является случайной величиной Коши. В частности, отношение двух независимых гауссовых случайных величин есть случайная величина Коши.

3. ВОЗВРАЩЕНИЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Составим систему из уравнения (£) и вспомогательного соотноше-

ния

с0,5 _,_ а0,5 _ ^,5

(А : 0,5)

Решением этой системы будет случайная величина, плотность которой при х < 0 равна нулю, а в остальных случаях имеет вид

р(х) = (2тг)~^2 ещ>(-1/2х)х~'д/2.

Величина р (х) 3,х представляет собой вероятность того, что броуновская функция, удовлетворяющая равенству В (0) = 0, удовлетворяет также равенству В (£) = 0 при некотором значении £ из интервала [х, х + йх\.