Литература. Существует огромное количество различных источников, но ни один из них нельзя счесть удовлетворительным. В монографии Феллера ([148], том II) материал по устойчивости представлен, пожалуй, в самом полном объеме, однако он разбросан по всей книге, и порой очень трудно отыскать необходимые сведения. Книга Лампер-ти [284] может послужить неплохим введением в курс дела. Рекомендую также и работу Гнеденко и Колмогорова [172], несмотря на ее почтенный возраст. Много полезных подробностей можно найти у Лукача [320]. Оригинальные трактаты Леви [302, 304] вряд ли придутся по вкусу всем, поскольку эти великие научные труды являют собой яркие образцы авторского стиля (см. главу 40).

1. ГАУССОВЫ С. В. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ

Известно, что гауссово распределение обладает следующим свойством: возьмем две независимые гауссовы случайные величины С\ и С2 и запишем

И ФУНКЦИИ

520

Разное о XI

Что более важно, величина С?т + С2 сама является гауссовой случайной величиной. Таким образом, гауссово свойство инвариантно при сложении независимых случайных величин. Иными словами, гауссову случайную величину можно рассматривать как возможное решение системы уравнений, состоящей из функционального уравнения

(£) 51^1 + з2Х2 = зХ

и вспомогательного соотношения

(А : 2) з21+з1 = з2.

В действительности же, только гауссово распределение удовлетворяет как уравнению (£■), так и соотношению (А : 2) (без учета масштаба).

Более того, если в качестве вспомогательного соотношения выступает (X2) < со, то гауссова случайная величина опять оказывается единственным решением.

Функциональное уравнение (Ь), для обозначения которого Леви использует термин устойчивость, подвергнуто весьма глубокому исследованию в его работе [302]. Во избежание возможной двусмысленности я использую в соответствующих случаях несколько громоздкую конструкцию устойчивость по Леви.

2. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА КОШИ

Поскольку практически настроенные ученые не склонны подвергать сомнению соотношение (X2) < со, широко распространено мнение о том, что гауссово распределение является единственным устойчивым распределением. Это определенно не соответствует истине, о чем нам первым поведал Коши еще в 1853 г. (см. [71], с. 206). Коши приводит в пример некую случайную величину (впервые рассмотренную Пуассоном и называемую теперь «приведенной переменной Коши»), которая удовлетворяет следующему равенству: