М

и X* (t) = X (г); здесь [t] — целая часть t. Для всякого d > 0 (вели-

i=i

чину d назовем запаздыванием) определим скорректированный размах суммы X* (t) на временном промежутке от 0 до d в виде

R [d) = max {X* (и) - (u/d) X* (d)} - min {X* (и) - (u/d) X* (d)}.

514

Разное о XI

Оценим далее выборочное среднеквадратическое отклонение величины Х(£):

Б2 {3)=Х2*{3)/3-Х*2/32.

Величина <Э (с() = Я ((Г)/Б ((Г) называется статистическим Я/Б-размахом или самонормированным самоскорректированным размахом суммы X* (£).

Определение Д/^-показателя J. Предположим, что существует некоторое вещественное число J', такое, что при (I —> со величина (1/^) [Я ((Г)/Б ((Г)] сходится по распределению к некоторой невырожденной предельной случайной величине. Как доказано в [384], из этого предположения следует, что 0 ^ 3 ^ 1. В этом случае говорят, что функция X имеет Я/Б-показатель 3 и постоянный Я/Б-префактор.

Сделаем более общее предположение: пусть к некоторой невырожденной предельной случайной величине сходится по распределению отношение [1/<РЬ ((Г)] [Я ((Г)IБ [<3)\, где Ь (с?) — некоторая медленно изменяющаяся на бесконечности функция, т. е. функция, удовлетворяющая условию Ь (Ы)/Ь {<£) —> 1 при 3 —> оо для всех £ > 0. Простейшим примером такой функции является Ь (в) = 1п 3. В этом случае говорят, что функция X имеет Д/й'-показатель 3 и Д/й'-префактор Ь (3).

Основные результаты [384]. Когда X (£) — белый гауссов шум, имеем 3 = У2 и постоянный префактор. Если точнее, то отношение е~5,1 Я(е5)/Б (е5) является стационарной случайной функцией от 5 = 1п (I.

В более общем виде, равенство 3 = г/2 справедливо во всех случаях, когда Б (с1) —> (X2), а нормированная сумма а~/2Х* [аЬ) при а —> со слабо сходится к В (Ь).

Когда X (£) — дискретный дробный гауссов шум (т. е. последовательность приращений функции Вн (£), см. с. 488), имеем 3 = Н, где Н е]0, 1[.

В более общем виде, для получения 3 = Н / 1/2 и постоянного префактора достаточно, чтобы 5 (3) —> (X2) и чтобы сумма X* (£) приближалась к функции Вн (*) так, что (X* (£)) ~ £2Я.