В еще более общем виде, значение 3 = Н / У2 и префактор Ь(3) преобладают, если Б (с1) —> (X2), а X* (£) приближается к функции (£) и удовлетворяет соотношению (X*2 (£)) ~ £2Я1/ (£).

И наконец, 3 ф У2, если Б (3) —> (X2), а X* (£) приближается к некоторой негауссовой масштабно-инвариантной случайной функции с показателем Н = 3. Примеры можно найти в [551, 554, 555].

С другой стороны, если X — белый устойчивый по Леви шум (т.е. (X2) = со), то 3 = У2.

Когда функция X в результате дифференцирования становится стационарной, то 3 = 1.

39 о Математическое приложение и дополнения

515

СТАЦИОНАРНОСТЬ. СТЕПЕНИ СТАЦИОНАРНОСТИ

Используя в научных текстах «обыкновенные» слова, мы либо а) имеем в виду их общеупотребительные, «мирские» значения (выбор которых зависит от автора), либо б) придаем им статус формальных определений (для чего выделяем какое-либо особое значение и заносим его на — в данном случае — математические «скрижали»). Терминам стационарный и эргодический повезло в том смысле, что математики достигли согласия относительно их значения. Я, однако, имел возможность на собственном опыте убедиться в том, что многие инженеры, физики и статистики-практики, признавая математическое определение на словах, на деле придерживаются более узких взглядов. Мне же, напротив, хотелось бы расширить математическое определение. Ниже я перечислю основные недоразумения, возникающие при употреблении упомянутых терминов, и попытаюсь объяснить, почему математическое определение нуждается в расширении.

Математическое определение. Процесс X (£) является стационарным, если распределение величины X (£) не зависит от £, а совместное распределение X (Ь\ + т) ж X (£2 + т) не зависит от т; причем то же верно и для совместных распределений X (Ь\ + т)... X + т) при всех к.

Первое недоразумение (философия). Согласно распространенному мнению, научной может считаться только та деятельность, объектом которой являются феномены, подчиняющиеся неизменным правилам. Неверное понимание стационарности чаще всего является следствием именно такого взгляда на вещи: многие полагают, что под стационарностью подразумевается всего лишь инвариантность во времени управляющих процессом правил. Это далеко не так. Например, приращение броуновского движения В (Ь\+т) — В (£2 + т) представляет собой гауссову случайную величину, среднее и дисперсия которой не зависят от т. Не зависит от т и правило построения множества нулей броуновского движения. К стационарности, однако, имеют отношение только те правила, которые управляют значениями самого процесса. В случае броуновского движения эти правила не являются инвариантными во времени.