39 о Математическое приложение и дополнения

513

еще тогда, когда я ввел долгосрочную зависимость для интерпретации феномена Херста (см. главу 27).

Такая смесь длинных хвостов и очень долгосрочной зависимости могла бы завести статистиков в тупик, поскольку стандартные методы второго порядка, рассчитанные на неизменную зависимость (корреляцию, спектры), руководствуются допущением (X2) < со. Есть, однако, альтернатива.

Можно пренебречь распределением величины X (t) и проанализировать ее долгосрочную зависимость с помощью нормированного размаха; иначе такая процедура называется R/S'-анализом. Этот статистический метод, предложенный в [408] и получивший математическое обоснование в [384], основан на различии между краткосрочной и очень долгосрочной зависимостями. В этом методе вводится постоянная J, которая называется коэффициентом Херста, или R/S-показателем, и может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

Значимость постоянной J можно описать еще до ее определения. Особое значение J = г/2 характерно для независимых, марковских и других случайных функций с краткосрочной зависимостью. Таким образом, для того, чтобы узнать, присутствует ли в эмпирических данных или в выборочных функциях очень долгосрочная непериодическая статистическая зависимость, достаточно проверить, приемлемо ли статистически предположение J = У2. Если нет, то такая зависимость присутствует, а мера ее интенсивности определяется разностью J— У2, значение которой можно оценить на основании имеющихся данных.

Главное достоинство такого подхода заключается в том, что показатель J устойчив по отношению к маргинальному распределению. То есть он эффективен не только в тех случаях, когда последовательности данных или случайные функции являются почти гауссовыми, но и тогда, когда распределение X (i) настолько далеко от гауссова, что (X2 (£)) расходится, а в этом случае не работает ни один из методов второго порядка.

Определение статистического Д/А-размаха. В непрерывном

t t времени t определим X* (t) = f X (и) du, X2* (t) = f X2 (и) du

о о и X*2 = (X*)2. В дискретном времени i определим X* (0) = 0