Неслучайные множества Сейлема. Неслучайная канторова пыль является множеством Сейлема только тогда, когда коэффициент г удовлетворяет определенным теоретико-числовым свойствам.

Случайные множества Сейлема. Случайная канторова пыль является множеством Сейлема тогда, когда ее случайность достаточно велика для нарушения любой арифметической закономерности.

512

Разное о XI

Оригинальный пример, предложенный самим Р. Сейлемом, очень сложен. В качестве альтернативного примера можно привести пыль Ле-ви: в [253] показано, что спектр с1Ь (ж) (здесь Ь (х) — лестница Леви, см. рис. 399) в среднем почти совпадает со спектром дробной броуновской функции из прямой в прямую и представляет собой сглаженный вариант спектра функции Гаусса-Вейерштрасса.

< В монографии [248] (теоремы 1, с. 165, и 5, с. 173) показано, что образ компактного множества 5 с размерностью 5 относительно дробной броуновской функции из прямой в прямую с показателем Н представляет собой множество Сейлема с размерностью И = тт(1, 5/Н). ►

Канторова пыль не является множеством Сейлема. Троичная канторова пыль появилась в свое время на свет в результате поисков Георгом Кантором множества единственности (см. [616], I, с. 196), — поисков, которые не увенчались успехом. (Кантор тогда забросил гармонический анализ и — за неимением лучшего — создал теорию множеств.) Обозначим канторову лестницу через С (х). Спектр (1С (х) имеет ту же общую форму, что и спектр с1Ь (х), однако содержит, в отличие от последнего, некоторое количество случайно расположенных острых пиков неубывающего размера, из чего можно заключить, что Ир = 0. См. [216].

Для теории множеств единственности наличие этих пиков играет решающую роль, однако на практике они вовсе не столь значимы. В большинстве случаев при оценке спектральной плотности пики игнорируются, и в расчет принимается только общая форма спектра, определяемая размерностью И.

СЕРЕДИННЫЕ И ПРЕРЫВИСТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Материалы по этой теме (связанной с кривыми Пеано) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ПРИМЕНЕНИЕМ НОРМИРОВАННОГО РАЗМАХА Я/в

До недавних пор в прикладной статистике принимались как само собой разумеющиеся два следующих допущения в отношении временных рядов: предполагалось, что (X2) < со и что случайная величина X обладает краткосрочной зависимостью. Я, однако, показал (см. главу 37), что эмпирические последовательности данных с длинными хвостами часто лучше интерпретируются в свете допущения (X2) = со. С вопросом же о том, является та или иная последовательность данных слабо (краткосрочно) или сильно (долгосрочно) зависимой, мы впервые столкнулись