4. БЕЗИКОВИЧ И ТЕЙЛОР. БОЙД

Из главы 8 нам известно, что в том случае, когда пространство £2 представляет собой интервал [0, 1] или вещественную прямую, пыль S полностью определяется своим дополнением, т. е. объединением максимальных открытых интервалов или пустот (в некоторых построениях все пустоты являются тремами).

Троичная канторова пыль С НА ИНТЕРВАЛЕ [0, 1]. Длины пустот составляют в сумме единицу и следуют гиперболическому распределению Рг(Г/ > u) = Fu~D. Следовательно, порядок длины Аи п-й пустоты (в порядке уменьшения размера) равен n~xlD.

510

Разное о XI

Обобщенные линейные множества нулевой меры Лебега.

Поведение длины Аи при п —> со рассмотрено в работе Безиковича и Тейлора [29]. Существует некоторый вещественный показатель Ивт, такой, что ряд ^ А^ сходится при с1 > Ивт (в частности, сходится к 1 при (I = 1). Таким образом, Ивт представляет собой инфи-мум вещественных чисел с1, при которых ^ А^ < со. Можно показать, что Двт ^ -О. Хокс (см. [204], с. 707) доказывает, что величина Двт совпадает с верхней энтропийной размерностью, причем иногда легче поддается оценке.

Предостережение. Если 5 не является множеством нулевой меры, показатель Ивт не является размерностью. Этот показатель сродни показателю, описанному в главе 15, и показателю А из главы 17.

Показатель аполлониевой упаковки. У показателя 1)вт имеется аналог в случае аполлониевой упаковки (см. главу 18). Он был введен в 1966 г. 3. А. Мельзаком, а Бойд в работе [51] показывает, что этот показатель представляет собой (как и предполагалось) размерность Хаусдорфа-Безиковича остаточного множества.

РАЗМЕРНОСТЬ ПОДОБИЯ: НЕКОТОРЫЕ ТОНКОСТИ

В некоторых открытых множествах (т. е. не содержащих свои предельные точки) можно наблюдать серьезное несоответствие размерностей.

Множество концевых точек трем канторовой пыли самоподобно и характеризуется теми же значениями N и г, что и вся канторова пыль, т. е. его размерность подобия совпадает с размерностью подобия канторовой пыли. Однако оно является счетным, а это означает, что его размерность Хаусдорфа-Безиковича равна нулю. Если добавить сюда предельные точки пыли, то мы получим саму канторову пыль, и несоответствие исчезнет «в пользу» размерности подобия, которая для этого множества является более важной характеристикой.