2. БУЛИГАН

Обобщение определения Минковского на случай нецелочисленных d было предпринято Булиганом в [47, 48]. На роль размерности Минковского-Булигана Вмв из упомянутых выше пределов, пожалуй, больше подходит lim inf, способный принимать дробные значения.

Булиган, безусловно, понимал, что размерность Вмв подчас противоречит здравому смыслу и, в общем, менее удобна, чем размерность Хаусдорфа-Безиковича В. Однако она часто совпадает сои легче поддается оценке, а значит, может иногда оказаться полезной. В [255] (с. 29) рассматривается случай Е = 1 и подтверждается, что размерность Вмв часто равна В, может быть больше В, но не может быть меньше.

3. ПОНТРЯГИН И ШНИРЕЛЬМАН. КОЛМОГОРОВ и ТИХОМИРОВ

Среди всевозможных наборов шаров радиуса р, покрывающих множество S в метрическом пространстве О,, наиболее экономичным по определению является тот, который содержит наименьшее количество

39 о Математическое приложение и дополнения

509

шаров. Если множество S ограниченно, это наименьшее количество конечно и может быть обозначено как N (р). Учитывая это обстоятельство, Понтрягин и Шнирельман [481] выдвинули в качестве альтернативного определения размерности следующее выражение:

lim inf ln7V(p)/ln(l/p).

р^О

Дальнейшее развитие этот подход получил в работе Колмогорова и Тихомирова [278], авторы которой, почерпнув вдохновение в шеннонов-ской теории информации, окрестили величину In N (р) р-энтропией множества S. Хокс [204] называет соответствующую размерность нижней энтропийной размерностью, а ее вариант, получаемый заменой lim inf на lim sup — верхней энтропийной размерностью. Кроме того, Хокс показывает, что размерность Хаусдорфа-Безиковича не может превышать нижней энтропийной размерности; они часто совпадают, но не всегда.

В [278] рассматривается также величина М (р), определяемая как наибольшее количество точек в S, отстоящих друг от друга на расстояние, превышающее 2р. Для множеств, расположенных на прямой, N (р) = М (р). Для других множеств величину

lim inf lnM(p)/ln(l/p)

р^О

можно считать еще одной размерностью.

< У Колмогорова и Тихомирова [278] величина In М (о) называется емкостью, что в высшей степени неудачно ввиду того, что в теории потенциала уже существует такой термин с совершенно иным и, на мой взгляд, более оправданным значением. В особенности следует избегать искушения определить выведенную в предыдущем абзаце размерность, как емкостную размерность. См. раздел ПОТЕНЦИАЛЫ И ЕМКОСТИ, 3. ►