39 о Математическое приложение и дополнения

505

Для общего интеграла f R

■D-1-F

dR условие сходимости в беско-

нечности очевидно: D < F. Условие же сходимости в начале координат имеет вид D > F. Таким образом, устанавливается однозначная связь между D и F; значению F = 1, в частности, соответствует D = 1.

3. ПОТЕНЦИАЛ И ЕМКОСТЬ

Эту связь исследовали Д. Пойа и Д. Сегё, в окончательном же виде ее сформулировал О. Фростман в [158]. Главное усовершенствование заключается в том, что рассуждение теперь распространяется не только на точку начала координат си, но на все точки, принадлежащие множеству S (компактному). Рассмотрим единичную массу, распределенную на множестве S так, что область du содержит массу dp (и). В точке t ядро |м|~^ дает потенциальную функцию

Для измерения «протяженности» множеств де Ла Балле Пуссен применил физическую концепцию электростатической емкости. Идея такова, что если емкость С (Б) множества 5 достаточно высока, то масса, которую мы можем «перетасовать» для достижения наименее возможного максимального потенциала, равна р.

Определение. Найдем супремум потенциала по всем точкам Ь, затем — инфимум полученного результата относительно всех возможных распределений единичной массы на множестве 5 и, наконец, положим

Если используется ядро 1 /г, то такой минимальный потенциал и в самом деле создается электрическими зарядами на проводящем множестве.

Эквивалентное определение. Величина [С (Б)]^1 представляет собой инфимум (среди всех распределений массы, носителем которой является множество 5) энергии, определяемой двойным интегралом

4. £> КАК РАЗМЕРНОСТЬ ФРОСТМАНА

Между величинами С (5) и Р имеет место простое соотношение. Когда показатель Р, используемый при определении емкости С (5), больше, чем размерность О Хаусдорфа-Безиковича, С (5) обращается

t

506

Разное о XI

в нуль, — это означает, что даже при «наиболее эффективном» распределении массы по множеству S потенциал в какой-то из точек бесконечен. Когда же F меньше D, емкость множества S положительна. То есть размерность Хаусдорфа-Безиковича выступает здесь, согласно Пойа и Сегё, как емкостная размерность. Тождественность этих понятий была в наиболее общем виде доказана Фростманом [158].