В этой связи стоит упомянуть и о сложном соотношении между емкостной мерой и мерой Хаусдорфа в размерности D, полученном Тейлором (см. [559]).

5. «АНОМАЛЬНАЯ» РАЗМЕРНОСТЬ

Ядра где F / Е — 2, ассоциируются в сознании физика с про-

странством вложения с «аномальной евклидовой» размерностью 2 — F. (Я не склонен думать, что под этими терминами подразумеваются какие-то реальные обобщения размерности Е на какие-либо положительные вещественные числа, кроме целых.) Принимая во внимание а) наличие связи между размерностями О и F (размерность Фростмана) и б) роль размерности В в описании скоплений галактик (установленную в главе 9), мы приходим в рамках «аномально-размерностной» терминологии к следующему утверждению: фрактальная размерность скоплений галактик О = 1 не является аномальной, однако наблюдаемая фрактальная размерность О = 1,23 требует, по всей видимости, пространства вложения с аномальной размерностью.

РАЗМЕРНОСТЬ И ПОКРЫТИЕ МНОЖЕСТВА (ИЛИ ЕГО ДОПОЛНЕНИЯ) ШАРАМИ

В моем понимании фрактальная размерность и все ее допустимые варианты являются не топологическими, но метрическими понятиями. Они включают в себя некое метрическое пространство О,, то есть пространство, в котором соответствующим образом определяется расстояние между любыми двумя точками. Замкнутый (либо открытый) шар с центром со и радиусом р в таком пространстве представляет собой множество всех точек, находящихся от точки со на расстоянии ^ р (либо < р). (Шары суть сплошные тела, а сферами мы называем их поверхности.)

Существует много способов покрытия некоторого заданного ограниченного множества S в пространстве Q. Часто (как, например, в случаях, рассматриваемых в данном разделе) эти способы естественным образом включают в себя понятие размерности. В фундаментальных прецедентных исследованиях упомянутые размерности имеют одинаковые значения. Однако в других примерах их значения могут быть различными.

39 о Математическое приложение и дополнения

507

1. КАНТОР И МИНКОВСКИЙ

Самый приблизительный способ покрытия, восходящий еще к Кантору, заключается в том, что каждая точка множества S объявляется центром шара; объединение этих шаров рассматривается далее как сглаженный вариант множества S и обозначается через S (р).