N(p, А) = inf TV (р, Ел).

За некоторыми, на мой взгляд, многообещающими эвристическими оценками скрываются выражения «размерно стного» вида

lim inf In 7V (а, а)/1п(1/а);

lim inf ln7V(p, A)/ln(l/p); pio

lim inf lim inf In N (p, A) / ln( I/o), Mo pio

504

Разное о XI

строгое исследование которых можно было бы только приветствовать. Разумеется, эвристические оценки заменяют значение шг N (а, А) действительным N (а, Ед) относительно некоторого приемлемого покрытия Ед.

ПОТЕНЦИАЛЫ И ЕМКОСТИ. РАЗМЕРНОСТЬ ФРОСТМАНА

Размерность Хаусдорфа-Безиковича В играет центральную роль в современной теории классических и обобщенных потенциалов (потенциалов Марселя Рисса) с ядрами вида \и\~р, где Р ф Е — 2. Из появившихся в недавнее время неэлементарных исследований теории потенциалов рекомендую обратить внимание на книги Дюплесси ([122], глава 3) и Ландкофа [287] (в последней материал изложен более подробно).

1. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ

Мы вскоре сможем убедиться в том, что особое значение О = = 1 тесно связано с ньютоновым потенциалом в К3. Эта связь лежит в основе замечаний, высказанных в главе 9 относительно различных космологических теорий, согласно которым О = 1, — таких, например, как теории Фурнье и Джинса-Хойла.

Я полагаю, должна существовать возможность переформулировать эти теории в виде следствий из ньютонова закона всемирного тяготения.

Следовательно, должна существовать и возможность вывести отклонение наблюдаемого значения О ~ 1, 23 от единицы из неньютоновских (релятивистских) эффектов.

2. РАЗМЕРНОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛЫ: ЭВРИСТИКА

Как уже упоминалось в главе 9, Бентли и Ньютону было известно о том, что в теории гравитационного потенциала имеет место эффект, аналогичный кеплерову эффекту пылающего неба («парадоксу Ольберса»). Предположим, что Е = 3, что масса М (Я), заключенная внутри сферы радиуса Я с центром в точке со, пропорциональна Яв, где В = 3, и что ядро потенциала является ньютоновским и имеет вид Я~р, где Р = = 1. Масса, заключенная внутри оболочки толщины <1Я и радиуса Я, пропорциональна Яв~г; следовательно, полный потенциал в точке ш, определяемый как ос /Я~рЯв~1 с1Я = /Яс1Я, расходится в бесконечности. Расхождения в бесконечности не будет, если В = 3, а Р > 3, т. е. если потенциал не является ньютоновским. Тот же результат мы получим и в модели Фурнье-Шарлье с ^ = 1 и Д < 1.