Поскольку функция Ln in ъ (х) непрерывна, изменение ее значения внутри ячейки со стороной г™ очень невелико, а это значит, что к настоящей модели применим способ получения множества концентрации

39 о Математическое приложение и дополнения

503

в случае взвешенного створаживания с логарифмически нормальной величиной W. Если пренебречь логарифмическими членами, то количество ячеек, составляющих большую часть интеграла функции Ьп\пь (х), имеет математическое ожидание Q = (г~и)-° , где D* = 3 — ß/2.

Если ß > 6 (т. е. D* < 0), то Q —> 0 при А —> со, и функция L (х) почти наверное вырождена.

Если 4 < ß < 6 (т. е. 0 < D* < 1), то функция L (х) имеет размерность D = D* и невырождена, однако ее следы на плоскостях и прямых почти наверное вырождены.

Если 2 < ß < 4 (т. е. 1 < D* < 2), то функция L (х) и ее следы на плоскостях невырождены (размерности D* и D* — 1, соответственно), однако ее следы на прямых почти наверное вырождены.

Если 0 < ß < 2 (т. е. 2 < D* < 3), то и функция Ь(х),и ее следы на плоскостях и прямых невырождены (размерности D*, D* — 1 и D* — 2, соответственно).

6. РАЗМЕРНОСТЬ КОНЦЕНТРАТА МЕРЫ

Исследование относительной перемежаемости может привести нас и к другим определениям размерности. Вместо множества в метрическом пространстве рассмотрим некую меру ß (S), которая определена в ограниченном подпространстве О, (в соответствующем сг-поле, включающем в себя и шары) и обладает нижеперечисленными свойствами. (А) Когда S — шар, ß (S) > 0, а ß (£1) = 1, т. е. «множество, в котором ß > 0» совпадает с пространством £2. (Б) Руководствуясь интуитивными соображениями, можно, однако, предположить, что мера р «концентрируется» внутри очень малой части пространства Г2. Необходимы новые способы количественного выражения (Б).

При заданных />>0и0<А<1 рассмотрим множества £д, для которых верно неравенство ß (£2 — £д) < А. Обозначим через N (р, Ел) инфимум количества шаров радиуса р, необходимых для покрытия множества Sa- Определим