502

Разное о XI

же моменты времени ее значениями являются независимые случайные величины вида In W. Положим теперь, что приращение А In W является логарифмически нормальным со средним —г/2 (In Ъ) и дисперсией р In Ъ. При этом ковариация между А In Yn (t) и А In Yn (t + т) принимает на интервале \т\ < г™ значение /i(ln&)(l — |т|/ги) и обращается в нуль вне этого интервала. Функция А In Yn (t) не может считаться гауссовой, поскольку совместное распределение ее значений при двух (или более) t не является многомерной гауссовой случайной величиной.

Первая модификация. Заменим все А In Yn (t) соответствующими А In Y* (i), определяемыми как гауссовы случайные функции с практически той же ковариацией р(\п Ь) ехр( — |т|/ги). В результате такой замены сохраняется «область зависимости» оригинала, однако нарушаются дискретные границы между вихрями продолжительности г™.

Вторая модификация. Заменим дискретный параметр п\пЪ непрерывным параметром А. Сумма конечных разностей А In Y* (t) заменяется при этом интегралом бесконечно малых дифференциалов dlnL\(t) со средним —1/2pd\ и дисперсией pdX, а вихри становятся непрерывными.

Определение функции L(t). Рассмотрим предел L(t) = L00(t) = lim Lx{t).

Случайная величина In L\ (i) является гауссовой со средним (In £д (£)) = —х12\р и дисперсией а2 lnL\ (t) = Хр. Отсюда {L\ (t)) = 1 при всех А. Однако предел функции L\ (t) может быть либо невырожденным, либо почти наверное равным нулю. Математического разрешения эта проблема пока не получила, однако можно, очевидно, придать строгий вид нижеследующим эвристическим рассуждениям. Они проводятся на примере более интересных функций L (х) от трехмерной переменной.

Множество концентрации предельной логарифмически нормальной меры. Удобным средством для получения представления о множестве, в котором значение L\ (х) не только не мало, но чрезвычайно велико, являются опорные квадраты со стороной г™. Это не искусственно навязанные субвихри, а всего лишь способ измерения. При я > 1 и фиксированном х вероятность того, что значение логарифмически нормальной функции Ln \п ь (х) окажется очень близко к нулю, чрезвычайно высока, т. е. на большей части области определения значения этой функции чрезвычайно малы.