501

Сечения. Аналогичным образом масса, заключенная в плоских и линейных сечениях, сосредоточивается в относительно малом количестве вихрей: Ъв ~г для плоских сечений (при общем числе вихрей б2) и Ъв ~2 для линейных сечений (при общем числе вихрей Ь). То есть сечения невырождены при £)* > 1 (и, соответственно, И* > 2) и аппроксимируются фракталами с размерностями £)* — 1 и £)* — 2. Таким образом, размерности сечений в этом случае подчиняются тем же правилам, что и в случае лакунарных фракталов.

Новые случайные величины, инвариантные при взвешенном сложении. Пусть X — это случайная величина, которая асимптотически задает вес, заключенный внутри вихря любого порядка к или внутри его сечения прямой или плоскостью (размерность сечения обозначим через А). Я показал, что величины X удовлетворяют функциональным уравнениям

С-1

(1/С) £ Хд\¥а = X,

9=0

где С = ЬА, величины \¥д и Хд — независимые случайные величины, равенство же выражает идентичность распределения. Это уравнение представляет собой обобщение уравнения (Ь), рассматриваемого в разделе УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ. Решения этого уравнения являются обобщением устойчивых случайных величин и подробнее обсуждаются в цитированных выше статьях [378, 376] и [254].

5. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ СЛУЧАЙНОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ И ФУНКЦИЯ[367]

В [367] описана вихревая решетка, сочетающая в себе абсолютное и взвешенное створаживание, позаимствованное у Кантора. Вихри не задаются заранее, но генерируются при построении с помощью того же статистического механизма, который используется для генерации заключенной в них массы. Кроме того, дискретные вихревые слои сливаются в такой решетке в непрерывный континуум.

Предельная логарифмически нормальная функция: обоснование. Произведем кое-какие последовательные модификации взвешенного створаживания на примере некоторой функции Ь (£) от одной переменной (выбранной из соображений простоты).

После п-го этапа плотность взвешенного створаживания задается функцией Уп (£), такой, что приращение А1пУп {£) = 1пУп+1 {£) — — 1п Уп (г,) есть ступенчатая функция; изменяется эта функция только тогда, когда £ представляет собой интеграл, кратный Ъ~п = г™, в остальные