500

Разное о XI

Д) Размерность подобия «множества концентрации» множества В.

Эта размерность равна В. Дело в том, что мера Безиковича довольно точно аппроксимируется фрактально однородной мерой, размерность подобия которой равна размерности Хаусдорфа-Безиковича В. Точнее говоря, после некоторого большого количества к этапов каскада большая часть первоначально однородной массы оказывается сосредоточенной в Ъкв троичных интервалах с длиной З-*. Распределение этих интервалов в [0, 1] неоднородно, однако длина самой большой пустоты стремится при к —> оо к нулю.

Комментарий. Следует различать «полное множество», которое должно включать в себя всю массу, и «частное множество», в котором сосредоточена большая часть массы. Оба множества самоподобны, однако их размерности самоподобия Вв и В различны. См. также подраздел 5 данного раздела.

4. СЛУЧАЙНОЕ ВЗВЕШЕННОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ [378, 376]

В работах [378, 376] я предложил естественное и достаточно глубокое обобщение метода Безиковича, которое получило дальнейшее развитие в [254].

Воздействие каждого этапа каскада заключается в умножении плотностей в Ъ3 субвихрях каждого вихря на одинаково распределенные и статистически независимые случайные веса У/{.

После к этапов каскада взвешенного створаживания количество вихрей, в которых оказывается сосредоточена большая часть массы, составляет величину порядка Ъкв (при общем количестве вихрей Ьзк), где

В* = -{\¥^ъ{г3\¥)) = 3- (И^ь ]¥).

В частности, если величина ]¥ дискретна и ее возможные значения №г имеют относительные вероятности щ, имеем

В* = 3 - У^Рг'Шг \0gbWj.

Случай £)* > 0: Е) — Е)*. Мера, порождаемая взвешенным створаживанием аппроксимируется фрактально однородной мерой с размерностью В = В*, получаемой так же, как описано в главе 23.

СЛУЧАЙ £)* < 0: Е) = 0. Количество непустых ячеек асимптотически стремится к нулю, а это значит, что предел почти наверное оказывается пустым.

В общей сложности, носитель массы аппроксимируется замкнутым множеством с размерностью В = тах(0, В*).

39 о Математическое приложение и дополнения