499

Он представляет собой множество точек интервала [0, 1], троичное разложение которых таково, что отношение

/с-1 (количество г в первых к «цифрах»)

сходится к щ. Такие точки образуют открытое множество: предел последовательности этих точек не обязательно должен принадлежать множеству.

Б) Нелакунарность. Предельное распределение массы является всюду плотным: не существует такого открытого интервала (сколько угодно малого), который был бы (пусть даже асимптотически) совершенно пуст. На интервале от 0 до 4 масса строго возрастает вместе с I. Хотя относительное количество точек, в которых Г] ]¥ не сходится к нулю, очень мало, абсолютного их количества вполне достаточно для того, чтобы масса, заключенная внутри любого интервала [г/, £"], имела ненулевой предел при к —> со.

В) Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества В. Эта размерность равна

-О = — (7Г1 1П7Г1 + 7Г2 1П7Г2 + 7Гз 1п7Гз).

Формально величина £> является «энтропией», как она определена в термодинамике, или «информацией», как ее определяет Шеннон (см. [34]).

Г) Размерность подобия множества В. Эта размерность равна единице. В самом деле, множество В самоподобно с N = 3 и г = г/3, следовательно, Из = ГпЗ/ГпЗ = 1; причина введения индекса 5 вскоре разъяснится. Аналогичным образом, размерность трехмерных вариантов В равна 3. В данном примере величина не может иметь большого физического смысла: во-первых, она не зависит от весов если те отвечают вышеприведенным условиям; во-вторых, если заменить множество В его канторовым пределом, то ее значение скачкообразно изменяется с 1 на 1п2/ 1пЗ.

Кроме того, фрактальное однородное распределение больше не может основываться на самоподобии. В самом деле, если соотнести с каждым участком длиной З-* один и тот же вес, в результате мы получим однородное распределение на интервале [0, 1]. Оно никак не связано со значениями весов Wi и отлично от меры, с помощью которой генерировалось само множество. К тому же, при переходе к канторову пределу это однородное распределение разрывно переходит в распределение весьма неоднородное.